Sous-espace de matrices qui commutent avec une matrice donnée
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Dans \(E\) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 2, trouver toutes les matrices qui commutent avec \(A=\left[\begin{array}{c c c}2&-1\\1&3\end{array}\right]\).
Montrer que l'ensemble \(F\) de ces matrices est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Solution
La matrice \(M=\left[\begin{array}{c c c}x&y\\z&t\end{array}\right]\) commute avec \(A\) si et seulement si \(\left[\begin{array}{c c c}2&-1\\1&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c c c}x&y\\z&t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}x&y\\z&t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c c c}2&-1\\1&3\end{array}\right]\).
Donc si et seulement si \(\left[\begin{array}{c c c}2x-z&2y-t\\x+3z&y+3t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}2x+y&-x+3y\\2z+t&-z+3t\end{array}\right]\),
d'où \(\left\{\begin{array}{cccccc}2x&-&z&=&2x&+&y\\x&+&3z&=&2z&+&t\\2y&-&t&=&-x&+&3y\\y&+&3t&=&-z&+&3t\end{array}\leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x&&+z&-t&=&0\\&y&+z&&=&0\\x&-y&&-t&=&0\\&y&+z&&=&0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}y&=&-z&\\x&=&-z&+t\end{array}\)
d'où \(M=\left[\begin{array}{c c c}-z+t&-z\\z&t\end{array}\right]\), soit \(M=z\left[\begin{array}{c c c}-1&-1\\1&0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right]\).
\(F\) est ainsi l'ensemble des combinaisons linaires de \(M_1\) et \(M_2, M_1=\left[\begin{array}{c c c}-1&-1\\1&0\end{array}\right]\) et \(M_2=\left[\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right]\) donc
\(F\) est le sous-espace de \(E\) engendré par \(M_1\) et \(M_2\), en particulier \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).