Matrice d'un endomorphisme dans une base donnée
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension 3, \(B=(e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\).
Soit \(\phi\) l'endomorphisme de \(E\) dont la matrice relativement à \(B\) est :
\(M=\left(\begin{array}{c c c}1&1&-1\\2&0&-1\\2&2&-2\end{array}\right)\)
On considère les trois vecteurs de \(E\) suivants : \(u_1=e_1+2e_3,u_2=e_1+e_2+2e_3,u_3=e_1\) .
Vérifier que \(U=(u_1,u_2,u_3)\) est une base de \(E\).
Quelle est la matrice \(M'\) de \(\phi\) dans la base \(U\).
En déduire une base de \(\mathrm{Im}\phi\) et une base de \(\mathrm{Ker}\phi\).
Solution
(2 pts)
Comme la partie \(\{u_1,u_2,u_3\}\) a trois éléments dans l'espace vectoriel \(E\) de dimension 3, il suffit qu'elle forme une famille libre pour qu'elle détermine une base de \(E\).
On vérifie qu'elle forme une famille libre : soient \(\alpha,\beta,\gamma\) trois réels tels que \(\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3=0\). On a
\(\begin{array}{cccccc}\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3&=&\alpha(e_1+2e_3)+\beta(e_1+e_2+2e_3)+\gamma e_1\\&=&(\alpha+\beta+\gamma)e_1+\beta e_2+(2\alpha+2\beta)e_3=0\end{array}\)
La partie \(\{e_1,e_2,e_3\}\) étant libre, on obtient le système : \(\left\{\begin{array}{cccccc}\alpha+&\beta&+\gamma&=&0\\&\beta&&=&0\\2\alpha+&2\beta&&=&0\end{array}\)
dont la seule solution est \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
Donc \(U=(u_1,u_2,u_3)\) est bien une base de \(E\).
(5 pts)
Les colonnes de la matrice \(M'\) seront formées par les coordonnées des vecteurs \(\phi(u_1),\phi(u_2)\) et \(\phi(u_3)\) dans la base \(U\).
Comme \(u_1=e_1+2e_3,u_2=e_1+e_2+2e_3\) et \(u_3=e_1\), on obtient
\(\phi(u_1)=\phi(e_1)+2\phi(e_3),\phi(u_2)=\phi(e_1)+\phi(e_2)+2\phi(e_3)\) et \(\phi(u_3)=\phi(e_1)\);
or la lecture des colonnes de la matrice \(A\) donne
\(\phi(e_1)=e_1+2e_2+2e_3,\phi(e_2)=e_1+2e_3\) et \(\phi(e_3)=-e_1-e_2-2e_3\).
D'où l'écriture dans la base \(B\) de \(\phi(u_1),\phi(u_2)\) et \(\phi(u_3)\) :
\(\begin{array}{cccccc}\phi(u_1)&=&\phi(e_1)+2\phi(e_3)\\&=&(e_1+2e_2+2e_3)+(e_1+2e_3)+2(-e_1-e_2-2e_3)\end{array}\)
donc \(\phi(u_1)=-e_1-2e_3\).
\(\begin{array}{cccccc}\phi(u_2)&=&\phi(e_1)+\phi(e_2)+\phi(e_3)\\&=&(e_1+2e_2+2e_3)+(e_1+2e_3)+2(-e_1-e_2-2e_3)\end{array}\)
donc \(\phi(u_2)=0\).
\(\phi(u_3)=\phi(e_1)=e_1+2e_2+2e_3\).
On cherche l'écriture dans la base \(U\) de \(\phi(u_1),\phi(u_2)\) et \(\phi(u_3)\) :
on voit immédiatement que \(\phi(u_1)=-u_1=-1u_1+0u_2+0u_3, \phi(u_2)=0=0u_1+0u_2+0u_3\), .
Comme l'écriture de \(\phi(u_3)\) est moins visible, on cherche les réels \(\alpha,\beta,\gamma\)
tels que \(\phi(u_3)=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3\).
En se servant de l'écriture de \(\phi(u_3)\) et de \(u_1,u_2,u_3\) dans la base \(B\),
on obtient \(e_1+2e_2+2e_3=\alpha(e_1+2e_3)+\beta(e_1+e_2+2e_3)+\gamma e_1\).
Le triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) est alors solution du système \(S:\left\{\begin{array}{cccccc}\alpha+&\beta&+\gamma&=&1\\&\beta&&=&2\\2\alpha+&2\beta&&=&2\end{array}\)
On trouve \((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,2,0)\), donc \(\phi(u_3)=-1u_1+2u_2+0u_3\).
La matrice cherchée est donc \(M'=Mat_\cup(\phi)=\left(\begin{array}{c c c}-1&0&-1\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right)\).
(3 pts)
L'image d'une application linéaire est le sous-espace vectoriel engendré par les images des vecteurs d'une base.
Les images par \(\phi\) des vecteurs d'une base se lisent facilement sur la matrice associée à \(\phi\) relativement à cette base.
Ici la lecture de la matrice \(M'\) permet d'avoir plus rapidement les résultats demandés :
d'une part, \(\mathrm{Im}\phi,\mathrm{Vect}(\{\phi(u_1),\phi(u_3)\})=\mathrm{Vect}(\{-u_1,-u_1+2u_2\})=\mathrm{Vect}(\{u_1,u_2\}),\)
or la famille \(\{u_1,u_2\}\) est libre donc une base de \(\mathrm{Im}\phi\) est \((u_1,u_2)=(e_1+2e_3,e_1+e_2+2e_3)\);
d'autre part le vecteur \(u_2\) appartient à \(\mathrm{Ker}\phi\), or d'après le théorème du rang
\((\mathrm{dim Im}\phi+\mathrm{dim Ker}\phi=\mathrm{dim}E)\), la dimension de \(\mathrm{Ker}\phi\) est 1,
donc une base de \(\mathrm{Ker}\phi\) est \((u_2)=(e_1+e_2+2e_3)\).