(4 pts pour la détermination de u_1 et u_2, 2 pts pour avoir vérifié qu'ils déterminent une base)
On cherche s'il existe une base U=(u_1,u_2) telle que la matrice de \phi relativement à cette base soit la matrice M'=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&2\end{array}\right), c'est-à-dire telle que \phi(u_1)=u_1 et \phi(u_2)=2u_2.
On cherche donc u_1=(x_1,y_1) tel que \phi((x_1,y_1))=(x_1,y_1),
or \phi((x_1,y_1))=(4x_1+3y_1,-2x_1-y_1),
donc (x_1,y_1) doit être solution du système
\left\{\begin{array}{cccccc}4x_1+3y_1=x_1\\-2x_1-y_1=y_1\end{array} équivalent à \left\{\begin{array}{cccccc}3x_1+3y_1=0\\-2x_1-2y_1=0\end{array} équivalent à x_1+y_1=0
Par exemple u_1=(x_1,y_1)=(1,-1) convient.
De même on cherche u_2=(x_2,y_2) tel que \phi((x_2,y_2))=(2x_2,2y_2),
donc (x_2,y_2) doit être solution du système
\left\{\begin{array}{cccccc}4x_2+3y_2=2x_2\\-2x_2-y_2=y_1\end{array} équivalent à \left\{\begin{array}{cccccc}2x_2+3y_2=0\\-2x_2-3y_2=0\end{array} équivalent à 2x_2+3y_2=0
Par exemple u_2=(x_2,y_2)=(3,-2) convient.
Il reste à vérifier que (u_1,u_2) est une base de R^2, or les deux vecteurs u_1 et u_2 ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre de deux éléments dans l'espace vectoriel R^2, ils déterminent bien une base de R^2.