Recherche d'une base

Durée : 15 mn

Note maximale : 8

Question

On considère l'endomorphisme de \(R^2\) défini par :

\(\begin{array}{cccccc}\phi:&R^2&\rightarrow&R^2\\&(x,y)&\mapsto&(4x+3y,-2x-y)\end{array}\)

  1. Déterminer la matrice de \(\phi\) relativement à la base canonique de \(R^2\).

  2. Montrer qu'il existe une base \(U=(u_1,u_2)\) de \(R^2\) telle que la matrice de \(\phi\) relativement à cette base soit la matrice \(\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&2\end{array}\right)\).

Solution

  1. (2 pts)

    Pour déterminer la matrice \(M\) de \(\phi\) relativement à la base canonique de \(R^2\), on calcule les images des vecteurs de la base canonique et les coordonnées de ces images forment les colonnes de la matrice \(M\).

    On a : \(\phi((1,0))=(4,-2)\) et \(\phi((0,1))=(3,-1)\).

    Donc \(M=\left(\begin{array}{c c c}4&3\\-2&-1\end{array}\right)\).

  2. (4 pts pour la détermination de \(u_1\) et \(u_2\), 2 pts pour avoir vérifié qu'ils déterminent une base)

    On cherche s'il existe une base \(U=(u_1,u_2)\) telle que la matrice de \(\phi\) relativement à cette base soit la matrice \(M'=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&2\end{array}\right)\), c'est-à-dire telle que \(\phi(u_1)=u_1\) et \(\phi(u_2)=2u_2\).

    On cherche donc \(u_1=(x_1,y_1)\) tel que \(\phi((x_1,y_1))=(x_1,y_1)\),

    or \(\phi((x_1,y_1))=(4x_1+3y_1,-2x_1-y_1)\),

    donc \((x_1,y_1)\) doit être solution du système

    \(\left\{\begin{array}{cccccc}4x_1+3y_1=x_1\\-2x_1-y_1=y_1\end{array}\) équivalent à \(\left\{\begin{array}{cccccc}3x_1+3y_1=0\\-2x_1-2y_1=0\end{array}\) équivalent à \(x_1+y_1=0\)

    Par exemple \(u_1=(x_1,y_1)=(1,-1)\) convient.

    De même on cherche \(u_2=(x_2,y_2)\) tel que \(\phi((x_2,y_2))=(2x_2,2y_2)\),

    donc \((x_2,y_2)\) doit être solution du système

    \(\left\{\begin{array}{cccccc}4x_2+3y_2=2x_2\\-2x_2-y_2=y_1\end{array}\) équivalent à \(\left\{\begin{array}{cccccc}2x_2+3y_2=0\\-2x_2-3y_2=0\end{array}\) équivalent à \(2x_2+3y_2=0\)

    Par exemple \(u_2=(x_2,y_2)=(3,-2)\) convient.

    Il reste à vérifier que \((u_1,u_2)\) est une base de \(R^2\), or les deux vecteurs \(u_1\) et \(u_2\) ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre de deux éléments dans l'espace vectoriel \(R^2\), ils déterminent bien une base de \(R^2\).