Rang de matrices

Par définition, le rang d'une matrice appartenant à \(M_{n,p}(\mathbb R)\) est la dimension du sous-espace vectoriel

de \(\mathbb R^n\) engendré par ses \(p\) vecteurs colonnes ; c'est donc le rang de ses \(p\) vecteurs colonnes.

Le rang de la matrice \(M\) est le rang de ses vecteurs colonnes \(C_1,C_2,C_3,C_4,C_5\) avec

\(C_1=(1,3,-1,2)\)

\(C_2=(0,1,-1,0)\)

\(C_3=(5,10,0,10)\)

\(C_4=(1,1,1,1)\)

\(C_5=(1,-1,3,0)\)

Ces cinq vecteurs étant des vecteurs de \(\mathbb R^4\) ne peuvent engendrer qu'un sous-espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à 4.

Ces cinq vecteurs ont le même rang que les cinq vecteurs \(C_1',C_2',C_3',C_4',C_5'\) suivants :

\(\begin{array}{|||||}C_1'&=&C_1&=&(1,3,-1,2)\\C_2'&=&C_2&=&(0,1,-1,0)\\C_3'&=&C_3-5C_1&=&(0,-5,5,0)\\C_4'&=&C_4-C_1&=&(0,-2,2,-1)\\C_5'&=&C_5-C_1&=&(0,-4,4,-2)\end{array}\)

On remarque que \(C_3'=-5C_2'\) et \(C_5'=2C_4'\). Donc les cinq vecteurs \(C_1',C_2',C_3',C_4',C_5'\) ont le même rang que les trois vecteurs \(C_1',C_2',C_4'\).

Or le rang des vecteurs \(C_1',C_2',C_4'\) est le même que le rang des vecteurs \(C_1'',C_2'',C_4''\) suivants :

\(\begin{array}{|||||}C_1''&=&C_1'&=&(1,3,-1,2)\\C_2''&=&C_2'&=&(0,1,-1,0)\\C_4''&=&C_4'+2C_2'&=&(0,0,0,-1)\end{array}\)

Le rang des vecteurs \(C_1'',C_2'',C_4''\) étant 3, on en déduit que le rang de \(M\) est 3.

\(\textrm{rang }(M)=3\)