Rang d'une matrice avec paramètre

Durée : 12 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(a\) un réel. Déterminer selon les valeurs de \(a\) le rang de la matrice \(A\) suivante en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes de la matrice.

\(A=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&-3&-1&5\\0&1&-1&-1&4\\2&1&-3&a&-2\\1&a&-2&a-1&1\\1&1&a-3&2a-2&13\end{array}\right)\)

Pour quelles valeurs de \(a\) cette matrice est-elle inversible ?

Solution

  • (5 pts)

    On ne change pas le rang d'une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.

    En notant \(L_i\), \(1\le i\le5\), la \(i\)-ème ligne de la matrice \(A\), le rang de \(A\) est égal au rang de la matrice \(A'\) obtenue en remplaçant la ligne \(L_3\) par la ligne \(L_3-2L_1\), la ligne \(L_4\) par la ligne \(L_4-L_1\) et la ligne \(L_5\) par la ligne \(L_5-L_1\). On obtient :

    \(A_1=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&-3&-1&5\\0&1&-1&-1&4\\0&-3&3&a+2&-12\\0&a-2&1&a&-4\\0&-1&a&2a-1&8\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_3-2L_1\\L_4&\leftarrow&L_4-L_1\\L_5&\leftarrow&L_5-L_1\end{array}\)

    On garde les première et deuxième lignes et on ajoute un multiple de la seconde aux trois dernières :

    \(A_2=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&-3&-1&5\\0&1&-1&-1&4\\0&0&0&a-1&0\\0&0&a-1&2a-2&4-4a\\0&0&a-1&2a-2&12\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_3+3L_2\\L_4&\leftarrow&L_4-(a-2)L_2\\L_5&\leftarrow&L_5+L_2\end{array}\)

    Puis

    \(A_3=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&-3&-1&5\\0&1&-1&-1&4\\0&0&a-1&2a-2&4-4a\\0&0&0&a-1&0\\0&0&a-1&2a-2&12\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_4\\L_4&\leftarrow&L_3\\\end{array}\)

    Puis

    \(A_4=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&-3&-1&5\\0&1&-1&-1&4\\0&0&a-1&2a-2&4-4a&\\0&0&0&a-1&0\\0&0&0&0&8+4a\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\L_5&\leftarrow&L_5-L_3\end{array}\)

    (3 pts)

    Alors trois cas se présentent :

    • Si \(a=-2\), la dernière ligne de \(A_4\) est nulle et les quatre premières sont linéairement indépendantes. Donc le rang de la matrice \(A_4\) est égal à 4.

    • Si \(a=1\), les troisième et quatrième lignes sont nulles, les trois autres sont linéairement indépendantes. Donc le rang de \(A_4\) est égal à 3.

    • Si \(a\ne1\) et \(a\ne-2\), le rang de \(A_4\) est égal à 5.

    Conclusion :

    si \(a=-2\), \(\textrm{rang }(A)=4\)

    si \(a=1\), \(\textrm{rang }(A)=3\)

    si \(a\ne1\) et \(a\ne-2\) \(\textrm{rang }(A)=5\)

  • (2 pts)

    Une matrice carrée d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si son rang est égal à \(n\).

    Donc \(A\) est inversible si et seulement si \(a\) est différent de \(-2\) et de \(1\).