Utilisation des formules de Cramer pour la résolution d'un système linéaire avec paramètre
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère le système suivant dépendant du paramètre réel \(m\) :
\(\left\{\begin{array}{c}3mx+2y-2z=1\\-mx+my+z=m\\mx+y+mz=1\end{array}\right.\)
Pour quelles valeurs de \(m\) ce système admet-il une solution unique ?
Déterminer cette solution pour les valeurs de \(m\) trouvées.
Solution
Ce système a trois équations et trois inconnues, il admet une solution unique si et seulement si son déterminant est non nul ; on dit dans ce cas que c'est un système de Cramer. Calculons ce déterminant :
\(D(m)=\left|\begin{array}{ccc}3m&2&-1\\-m&m&1\\m&1&m\end{array}\right|\)
La première colonne fait apparaître une première factorisation par \(m\) :
\(D(m)=m\left|\begin{array}{ccc}3&2&-2\\-1&m&1\\1&1&1\end{array}\right|\)
En ajoutant la deuxième colonne à la troisième (ou la deuxième ligne à la troisième), on peut faire apparaître une seconde factorisation par \((m+1)\):
\(D(m)=m\left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\-1&m&m+1\\1&1&m+1\end{array}\right|=m(m+1)\left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\-1&m&1\\1&1&1\end{array}\right|\)
On retranche la troisième ligne de la deuxième, puis on développe le déterminant suivant la troisième colonne :
\(D(m)=m(m+1)\left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\-2&m-1&0\\1&1&1\end{array}\right|=m(m+1)(3m+1)\)
Le système admet donc une solution unique si et seulement si \(m\in R\backslash \left\{0,-1,-\frac13\right\}\).
Soit \(m\in R\backslash \left\{0,-1,-\frac13\right\}\), calculons le triplet solution \((x,y,z)\) en utilisant les formules de Cramer.
\(x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&2&-2\\m&m&1\\1&1&m\end{array}\right|}{D(m)}\)
On retranche la deuxième colonne de la première puis on ajoute la deuxième colonne à la troisième, et on obtient :
\(\left|\begin{array}{ccc}1&2&-2\\m&m&1\\1&1&m\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1&2&0\\0&m&m+1\\0&1&m+1\end{array}\right|=(m+1)\left|\begin{array}{ccc}-1&2&0\\0&m&1\\0&1&1\end{array}\right|=-(m+1)(m-1)\)
D'où, après simplification par \((m+1)\):
\(x=\frac{-m+1}{m(3m+1)}\)
On calcule de même y puis z.
\(y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}3m&1&-2\\-m&m&1\\m&1&m\end{array}\right|}{D(m)}=\frac{3m^2(m+1)}{m(m+1)(3m+1)}=\frac{3m}{3m+1}\)
\(z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}3m&2&1\\-m&m&m\\m&1&1\end{array}\right|}{D(m)}=\frac{m(m+1)}{m(m+1)(3m+1)}=\frac{1}{3m+1}\)
Pour \(m\in R\backslash \left\{0,-1,-\frac13\right\}\), le triplet solution unique du système est :
\((\frac{-m+1}{m(3m+1)},\frac{3m}{3m+1},\frac{1}{3m+1})\)