Applications des déterminants

La matrice des coordonnées des vecteurs \(v_1,v_2,v_3,v_4\) relativement à la base canonique de \(R^3\) est :

\(A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\0&1&0&1\\\alpha&2&1&\beta\end{array}\right)\)

La rang de la famille de vecteurs \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) est le même que le rang de la matrice \(A\).

Il est évident que ce rang est au minimum égal à 2, car on peut extraire de \(A\) un mineur d'ordre 2 non nul : \(\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|\) par exemple.

Pour que le rang soit exactement égal à 2, il est nécessaire que tous les mineurs d'ordre 3 soient nuls. Donc, en particulier, les déterminants :

\(\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\\alpha&2&1\end{array}\right|\) et \(\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\2&1&\beta\end{array}\right|\) doivent être nuls.

\(\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\\alpha&2&1\end{array}\right|=1-\alpha\), \(\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&1\\2&1&\beta\end{array}\right|=2-\beta\)

Il est donc nécessaire que \(\alpha=1\) et \(\beta =2\).

Vérifions que ces valeurs conviennent :

pour \(\alpha=1\) et \(\beta =2\), \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&2&1&2\end{array}\right)\) on a \(v_1=v_3\) et \(v_2=v_4\).

Le rang de la famille \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) est donc exactement égal à 2.