Équation d'une droite du plan passant par deux point distincts
Partie
Question
On se place dans le plan \(\epsilon_2\) muni d'un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
Trouver une équation cartésienne de la droite \(D\) passant par les points \(A\) et \(B\) de coordonnées respectives \((-1,2)\) et \((2,1)\).
Aide simple
La famille \(\left\{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right\}\)est liée si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\).
Les points \(A\) et \(B\) ayant pour coordonnées respectives \((x_A,y_A)\) et \((x_B,y_B)\), le couple des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est \(\left(x_B-x_A,y_B-y_A\right)\).
Aide méthodologique
Le point \(M\) de coordonnées \((x,y)\)appartient à \(D\) si et seulement si les points \(A\), \(B\), \(M\) sont alignés, donc si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
Il reste à exprimer cette dernière propriété à l'aide d'un déterminant.
Aide à la lecture
Les points \(A\) et \(B\) sont distincts donc il existe une et une seule droite passant par ces points.
Une équation cartésienne de la droite \(D\) est une condition nécessaire et suffisante que doivent vérifier les coordonnées de \(M\) pour que ce point appartienne à \(D\).
Solution détaillée
Un point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) appartient à \(D\) si et seulement si les points \(A\), \(B\), \(M\) sont alignés, donc si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
Remarque
Les points \(A\) et \(B\) étant distincts le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est non nul, c'est un vecteur directeur de la droite \(D\).
Les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont :
\((x+1,y-2)\) pour \(\overrightarrow{AM}\)
\((3,-1)\) pour \(\overrightarrow{AB}\)
Une condition nécessaire et suffisante pour que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) soient linéairement dépendants est que le déterminant de ces deux vecteurs dans une base quelconque soit nul.
\(\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=\left|\begin{array}{cc}x+1&3\\y-2&-1\end{array}\right|=-(x+1)-3(y-2)=-x-3y+5\)
On a donc, \(M\) étant un point de coordonnées \((x,y)\), \(M\in D\Leftrightarrow x+3y-5=0\).
Une équation cartésienne de \(D\) est : \(x+3y-5=0\)