exp(x)

Partie

Graphe de la fonction \(f(x)=\exp(x)\)

On répondra, pour chaque énoncé, aux questions suivantes :

  1. Symétrie ou non du graphe. Intervalle de représentation.

  2. Graphes distincts ou non. Lien entre ces deux questions.

  3. Intervalle où le graphe du polynôme \(P_i\) semble confondu avec celui de la fonction.

  4. Positions relatives (et justification) du graphe de la fonction et de celui des différents polynômes \(P_i\) pour \(x<0\) d'une part, pour \(x>0\) d'autre part.

Question

Graphe de \(f\) et de \(P_1\)

\(\exp(x)=1+x+x~\epsilon(x)\)

\(P_1(x)=1+x\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction exponentielle n'admet aucune symétrie, cependant le graphe \(P1\) en admet une sur une représentation allant de \(]-\infty ; + \infty [\)

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P1\) semble confondu avec le graphe de l'exponentielle en \([-0.4 ; +0.4]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est en deça du graphe de la fonction exponentielle de \(]- \infty ; -0.4]\) puis de \([+0.4 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\) et de \(P_2\)

\(\exp(x)=P_2(x)+x^2\epsilon(x)\)

\(\displaystyle{P_2(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction exponentielle n'admet aucune symétrie, le graphe \(P2\) non plus.

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P2\) semble confondu avec le graphe de l'exponentielle en \([-0.7 ; +0.7]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction exponentielle dans l'intervalle \(]- \infty ; -0.7]\) puis en dessous dans l'intervalle \([+0.7 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), \(P_2\) et de \(P_3\)

\(\displaystyle{\exp(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+x^3\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_3(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction exponentielle n'admet aucune symétrie, le graphe \(P3\) non plus.

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P3\) semble confondu avec le graphe de l'exponentielle en \([-1 ; +1]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est en dessous du graphe de la fonction exponentielle dans l'intervalle \(]- \infty ; -1]\) puis dans l'intervalle \([+1 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) et de \(P_4\)

\(\displaystyle{\exp(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+x^4\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_4(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction exponentielle n'admet aucune symétrie, le graphe \(P4\) non plus.

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P4\) semble confondu avec le graphe de l'exponentielle en \([-1.4 ; +1.4]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction exponentielle dans l'intervalle \(]- \infty ; -1.4]\) puis en dessous dans l'intervalle \([+1.4 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.