cos(x)

Partie

Graphe de la fonction \(f(x)=\cos(x)\)

On répondra, pour chaque énoncé, aux questions suivantes :

  1. Symétrie ou non du graphe. Intervalle de représentation.

  2. Graphes distincts ou non. Lien entre ces deux questions.

  3. Intervalle où le graphe du polynôme \(P_i\) semble confondu avec celui de la fonction.

  4. Positions relatives (et justification) du graphe de la fonction et de celui des différents polynômes \(P_i\) pour \(x<0\) d'une part, pour \(x>0\) d'autre part.

Question

Graphe de \(f\) et de \(P_1\)

\(\cos(x)=1+x~\epsilon(x)\)

\(P_1(x)=1\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction cosinus admet une symétrie, le graphe \(P1\) aussi dans l'intervalle \(]-\infty ; +\infty[\).

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P1\) semble confondu avec le graphe du cosinus en \([-0.2 ; +0.2]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction cosinus dans l'intervalle \(]- \infty ; -0.2]\) puis dans l'intervalle \([+0.2 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\) et de \(P_2\)

\(\displaystyle{\cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+x^3\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_2(x)=1-\frac{1}{2}x^2}\)

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), de \(P_2\) et de \(P_3\)

\(\displaystyle{\cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+x^4\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_3(x)=1-\frac{1}{2}x^2}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction cosinus admet une symétrie, le graphe \(P4\) aussi dans l'intervalle \(]-\infty ; +\infty[\).

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P4\) semble confondu avec le graphe de la fonction cosinus en \([-1.6 ; +1.6]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction cosinus dans l'intervalle \(]- \infty ; -1.6]\) puis dans l'intervalle \([+1.6 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), de \(P_2\), \(P_3\) et de \(P_4\)

\(\displaystyle{\cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+x^5 \epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4}\)