Exercice n°2
Partie
Question
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies par
\(\displaystyle{f(x)=x\sqrt{1-\frac{2}{3}x^2}}\) et \(g(x)=\arctan(x)\)
Etudier les graphes de \(f\) et \(g\) au voisinage de \(0\), (tangente, position par rapport à la tangente).
Rappel de cours
Voici la définition des développements limités.
Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé de \(0\), noté \(V^*(0)\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(0\), si
il existe un polynôme \(P_n(x)\) de degré inférieur ou égal à \(n\) ;
il existe une fonction \(\epsilon\) définie sur \(V^*(0)\), vérifiant \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\), tels que :
\(f(x)=P_n(x)+x^n\epsilon(x)\) ;
\(P_n\) est appelé partie principale, et \(x^n\epsilon(x)\) reste, du développement limité.
Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de \(p\le n\) ne permet pas de connaître \(n\)... C'est en regardant l'exposant de \(x\) dans le reste \(x^n\epsilon(x)\) ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle.
Par exemple \(2+3x-7x^3+x^5\epsilon(x)\) (il est sous-entendu que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\)) est un développement limité à l'ordre \(5\) (et non pas à l'ordre \(3\)).
Solution détaillée
Pour trouver la tangente, on développe au premier ordre les deux fonctions.
On obtient \(f(x)=x+x\epsilon_1(x), \quad g(x)=x+x\epsilon_2(x)\)
La droite d’équation \(y=x\) est donc une tangente commune. Pour trouver la position relative des deux courbes et de leurs tangentes, il faut un terme de plus.
On constate que le développement d’ordre \(3\) est encore le même.
\(\displaystyle{f(x)=P_3(x)+x^3\epsilon_1(x)=x-\frac{1}{3}x^3+x^3\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=Q_3(x)+x^3\epsilon_1(x)=x-\frac{1}{3}x^3+x^3\epsilon_2(x)}\)
Cela permet de voir que les deux courbes sont au dessus de la tangente pour \(x<0\) et en dessous pour \(x>0\). Par contre cela ne donne pas la position relative des deux courbes. Pour avoir celle-ci, il faut aller chercher le premier terme qui diffère entre les développements de \(f\) et de \(g\).
Développons au cinquième ordre.
\(\displaystyle{f(x)=P_5(x)+x^5\epsilon_1(x)=x-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{18}x^5+x^5\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=Q_5(x)+x^5\epsilon_1(x)=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+x^5\epsilon_2(x)}\)
On voit que pour \(x>0\), \(g(x)>f(x)\) et que pour \(x<0\), \(g(x)<f(x)\). Quel est l’ordre de grandeur des différences entre les fonctions \(d(x)=f(x)-g(x)\), et entre les parties principales des développements au cinquième ordre \(P_5(x)-Q_5(x)\) ?
Que se passe-t-il si on essaie de les représenter sur un même graphe ?
On trace les deux fonctions, \(f\) en noir et \(g\) en bleu.
Les deux fonctions ont le même développement limité à l’ordre \(1\) et donc la même tangente d’équation \(y=x\) tracée ici en rouge.
Sur un même graphique, on trace \(f\) en noir, \(g\) en bleu et la tangente commune en rouge ainsi que la différence des deux fonctions \(f\) et \(g\) en vert.
On cherche les développements aux deuxième, troisième et quatrième ordres, ils sont les mêmes. Il faut aller au cinquième ordre pour trouver un terme différent dans les deux développements.
\(\displaystyle{f(x)=x-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{18}x^5+x^5\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+x^5\epsilon_2(x)}\)
Avec les graphes des fonctions et leur tangente commune, on trace en jaune la différence \(P_5(x)-Q_5(x)\) des parties principales des développements au cinquième ordre.
Pour comparer les ordres de grandeurs des différences, on trace en vert la différence entre les fonctions et en jaune la différence entre leurs développements : on ne voit rien en jaune. On a pour les \(y\) des ordres de grandeurs en \(10^{-11}\).
Pour comprendre ce qui se passe, on trace sur un graphe suivant en rouge la différence entre les fonctions moins la différence des parties principales de leurs développements à l’ordre \(5\), à savoir \(f(x)-g(x)-P_5(x)+Q_5(x)\). Observez les ordres de grandeurs. On a pour les \(y\) des ordres de grandeurs en \(10^{-15}\). Cela explique pourquoi on ne peut pas distinguer les deux courbes verte et jaune sur un même graphe pour \(x\) sur \(]-10^{-2},+10^{-2}[\) .
