Exercice n°3
Partie
Question
Soit \(f\), \(g\) et \(h\) les fonctions définies par
\(\displaystyle{f(x)=\frac{x+2}{-x+2}},\quad\displaystyle{g(x)=\frac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}}~~ \textrm{et } h(x)=e^x\)
Etudier les graphes de \(f\), \(g\) et \(h\) au voisinage de \(0\), (tangente, position par rapport à la tangente).
Etudier les graphes de \(f\) et \(g\) au voisinage de \(0\), (tangente, position par rapport à la tangente).
Rappel de cours
Voici la définition des développements limités.
Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé de \(0\), noté \(V^*(0)\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(0\), si
il existe un polynôme \(P_n(x)\) de degré inférieur ou égal à \(n\) ;
il existe une fonction \(\epsilon\) définie sur \(V^*(0)\), vérifiant \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\), tels que :
\(f(x)=P_n(x)+x^n\epsilon(x)\) ;
\(P_n\) est appelé partie principale, et \(x^n\epsilon(x)\) reste, du développement limité.
Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de \(p\le n\) ne permet pas de connaître \(n\)... C'est en regardant l'exposant de \(x\) dans le reste \(x^n\epsilon(x)\) ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle.
Par exemple \(2+3x-7x^3+x^5\epsilon(x)\) (il est sous-entendu que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\)) est un développement limité à l'ordre \(5\) (et non pas à l'ordre \(3\)).
Solution détaillée
On développe aux ordres 1, 2 : les développements sont les mêmes.
On voit que la droite \(y=1+x\) est une tangente commune en \(x=0\). A l’ordre 3, les développements de \(f\) et \(g\) sont différents, mais \(g\) et \(h\) ont encore le même développement. Ce développement à l’ordre 3 permettoutefois de placer les courbes par rapport à leur tangente commune.
\(\displaystyle{f(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^3+x^3\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+x^3\epsilon_2(x)}\)
\(\displaystyle{h(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+x^3\epsilon_3(x)}\)
On voit que \(f\), \(g\) et \(h\) sont toujours au dessus de leur tangente, que pour \(x>0\) on a \(f(x)>g(x)\) et pour \(x< 0\), \(f(x)<g(x)\). Par contre cette étude ne suffit pas pour avoirs la position relative de \(g\) et \(h\).
Il faut aller jusqu’à l’ordre 5 pour différencier \(g\) et \(h\).
A l'ordre 5 :
\(\displaystyle{f(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{16}x^5+x^5\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{144}x^5+x^5\epsilon_2(x)}\)
\(\displaystyle{h(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+x^5\epsilon_2(x)}\)
On a donc pour \(x>0\), \(g(x)<h(x)\) et pour \(x<0\), \(g(x)>h(x)\). Toutefois, il faut bien comprendre la signification en terme d’ordre de grandeur de ces résultats. Ici encore, avec un logiciel de calcul formel traçons toutes ces courbes et voyons les graphes.
Observation :
Si on trace le graphe des trois fonctions \(f\) en noir, \(g\) en bleu et \(h\) en rouge entre \(-1\) et \(1\), on ne distingue que \(f\) et \(g\).
Comme on ne voit pas \(h\) on vérifie en la traçant seule.
On développe aux ordres 1, 2 : les développements sont les mêmes. Les trois courbes ont la même tangente.
Sur un même graphique, on trace \(f\) en noir, \(g\) en bleu, \(h\) en rouge et la tangente commune en vert.
A l’ordre 3, les développements de \(f\) et \(g\) sont différents, mais \(g\) et \(h\) ont encore le même développement. Il faut aller à l’ordre 5 pour différencier \(g\) et \(h\).
A l'ordre 5 :
\(\displaystyle{f(x)=P_5(x)+x^5\epsilon_1(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{16}x^5+x^5\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=Q_5(x)+x^5\epsilon_2(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{144}x^5+x^5\epsilon_2(x)}\)
\(\displaystyle{h(x)=R_5(x)+x^5\epsilon_3(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+x^5\epsilon_3(x)}\)
Ces ordres de grandeurs expliquent pourquoi sur le même graphique on ne peut pas distinguer en même temps les trois fonctions.
Nous allons maintenant essayer de comprendre en comparant les ordres de grandeurs des différences. Sur chacun des graphiques, observez les courbes qui apparaissent et les ordres de grandeurs des valeurs de \(y\).
Sur un même graphe on a tracé \(P_5(x)-Q_5(x)\) en noir, \(P_5(x)-R_5(x)\) en bleu, \(Q_5(x)-R_5(x)\) en vert. Seule la première courbe est visible. Pourquoi ?
Sur un même graphe on a tracé \(P_5(x)-R_5(x)\) en bleu, \(Q_5(x)-R_5(x)\) en vert.
Seule la courbe bleue est visible.
\(\displaystyle{f(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{16}x^5+x^5\epsilon_1(x)}\)
\(\displaystyle{g(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{144}x^5+x^5\epsilon_2(x)}\)
\(\displaystyle{h(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+x^5\epsilon_3(x)}\)
Essayons sur un autre graphique la différence \(Q_5(x)-R_5(x)\) en vert ; comparez les ordres de grandeurs des \(y\) par rapport au graphe précédent.
