Méthodes numériques

Dans la pratique, on utilise des méthodes encore plus élaborées et donc plus précises (elles donnent, pour un pas du même ordre, une bien meilleure approximation de la solution cherchée).

Souvent, ces méthodes consistent, partant du point \((x_0, y_0)\), à trouver les coordonnées \((x_1, y_1)\) du point suivant en calculant une moyenne pondérée des valeurs de \(f\) en des points voisins de \((x_0, y_0)\). Ces méthodes sont appelées méthodes de Runge Kutta.

Une des plus utilisées est une méthode dite de Runge-Kutta d'ordre \(4\); c'est celle que nous avons utilisée pour faire les figures tout au long de ces pages. Pour information, nous en donnons ici les formules précises (écrites ici pour le premier pas) :

on pose :

• \(\displaystyle{p_1 = f (x_0, y_0)}\),

• \(\displaystyle{p_2= f (x_0 + h/2, y_0 + p_1 h/2)}\) ,

• \(\displaystyle{p_3 = f (x_0 + h/2, y_0 + p_2 h/2)}\),

• \(\displaystyle{p_4 = f (x_0 + h, y_0 + p_3 h)}\),

puis on calcule la moyenne pondérée

• \(\displaystyle{p = (p_1 + 2p_2 + 2p_3 + p4)/6}\)

et enfin

• \(x_1 = x_0 + h\)

• \(y_1 = y_0 + ph\).