Problèmes de synthèse

 Les isoclines demandées sont les suivantes :

\(p=0\) droites \(y=1\) et \(y=-1\),

\(p=1\) droites \(y=\sqrt{2}\) et \(y=-\sqrt{2}\),

\(p=-1\) droite \(y=0\).

Pour tout \(y\) réel, on a \(y^2\ge q0\), donc \(y^2-1\ge q-1\), donc les isoclines de pente \(p<-1\) sont vides.

 Les équations des isoclines de pente \(0\), \(y=1\) et \(y=-1\), correspondent également à des solutions constantes.

 Régionnement du plan suivant le signe de \(y'\) :

 L'équation étant autonome (pas de \(x\) dans le second membre) le champ des tangentes est invariant par translations horizontales :

si on écrit l'équation \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) on a pour tout \(\displaystyle{h,f(x,y)=f(x+h,y)}\) puisque en fait \(f\) ne dépend pas de \(x\).

On sait alors que, si \(u(x)\) est une solution, la fonction \(\displaystyle{v(x)=u(x+h)}\) est aussi solution (voir cours sur les équations autonomes).

Si \(u(x)\) est définie pour \(x\) appartenant à l'intervalle \(I\), \(v(x)\) est définie pour \(x+h\) appartenant à \(I\), donc pour \(x\) appartenant à \(I-h\)(translaté de \(I\) par \(-h\)).

a. Le graphe de \(u\) ne peut pas croiser la droite \(y=-1\), qui est graphe d'une solution. Comme \(u(0)<-1\), ce graphe reste en-dessous de la droite \(y=-1\),

donc dans une zone où \(y'>0\) ; donc \(u\) est bien croissante sur \(I\).

Pour \(x>0\) les valeurs de \(u\) restent bornées entre \(a\) et \(-1\) : donc par le théorème de prolongement, \(u(x)\) est définie pour tout \(x>0\) ; autrement dit la borne supérieure de \(I\) est \(+\infty\).

b. Pour \(x>0\), la fonction \(u\) est monotone croissante et majorée (par \(-1\)) donc elle admet une limite \(m\) quand\(x\to+\infty\) ;

comme \(u\) est majorée par \(-1\), on a \(m\leq-1\).

De plus, \(\displaystyle{u'(x)=u(x)^2-1}\), donc quand \(x\to+\infty\), \(u'(x)\top=m^2-1\).

Et puisque \(m\leq-1\), on a \(p\ge q0\).

Si on avait \(p>0\), le graphe de \(u\) aurait en \(+\infty\) une direction asymptotique de pente strictement positive \(p\), donc \(u(x)\) tendrait vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) : c'est impossible puisque \(u\) est majorée par \(-1\) ; donc forcément \(p=0\).

Mais alors, comme \(\displaystyle{p=m^2-1}\),cela implique \(m=1\) ou \(m=-1\) ; la condition \(m\leq-1\) permet de déterminer que \(m=-1\).

La fonction \(u(x)\) tend donc vers \(-1\) quand \(x\to+\infty\).

 On ne connaît pas de borne inférieure pour la fonction \(u\) (et pour cause, car en fait \(u(x)\) n'est pas bornée inférieurement !) ; donc le raisonnement de la question 5 ne s'applique pas pour déterminer si la borne inférieure de \(I\) est finie ou non. Pour l'instant les résultats trouvés ne permettent pas de répondre à cette question.

 Bien évidemment, un graphique ne représente que des valeurs bornées de \(x\) et de \(y\), et ne peut donc permettre de répondre à une question du type de la question \(6\). (ni même de se faire une opinion) !

II

1. L'équation \(y'=y^2-1\) est autonome (\(y^2-1\) ne dépend pas de \(x\)).

Elle n'est pas linéaire (\(y\) figure au second degré), ni exacte (si on l'écrit sous la forme \(\displaystyle{J(x,y)y'+H(x,y)=0}\),

on a \(J(x,y)=1\) et \(\displaystyle{H(x,y)=1-y^2}\) ; mais alors la condition \(\displaystyle{\delta H/\delta y=\delta J/\delta x}\) est fausse).

2. Pour trouver explicitement les solutions non constantes de cette équation autonome, on écrit qu'elles sont de la forme \(x+C=A(y)\), où \(A\) est une primitive de \(1/(y^2-1)\).

Or \(\displaystyle{1/(y^2-1)=1/2[1/(y-1)-1/(y+1)]}\) donc on peut prendre

\(\displaystyle{A(y)=1/2\textrm{ln}|(y-1)/(y+1)|}\).

3. La solution générale est donc de la forme \(\displaystyle{x+C=1/2\textrm{ln}|(y-1)/(y+1)|}\),

soit \(\displaystyle{(y-1)/(y+1)=K\textrm{e}^{2x}}\), ou encore

\(\displaystyle{y=(1+K)\textrm{e}^{2x}/(1-K\textrm{e}^{2x})}\).

De plus, pour que \(\displaystyle{u(x_0)=y_0}\), il faut et il suffit que \(\displaystyle{K\textrm{exp}(2x_0)=(y_0-1)/(y_0+1)}\),

soit \(\displaystyle{K=(y_0-1)/(y_0+1)\textrm{exp}(-2x_0)}\).

Cela n'est possible que si \(y_0\neq-1\) ; pour \(y_0=-1\), on sait qu'on a une solution constante.

Intervalle de définition des solutions :

Si \(K>0\), on voit que le dénominateur dans l'expression de la solution reste positif, donc la solution est définie sur \(\mathbb R\) tout entier.

La condition \(K>0\) équivaut à \(\displaystyle{(y_0-1)/(y_0+1)>0}\), c'est à dire à \(-1< y_0<1\) (on voit que dans ce cas-là, les solutions restent bornées entre \(1\) et \(-1\), donc le théorème de prolongement pouvait permettre de prévoir que ces solutions partout définies).

\(K=0\) (soit \(y_0=1\)) correspond à la solution constante \(y=1\) (évidemment définie partout).

En revanche, si \(K<0\) (pour \(y_0<-1\) ou \(y_0>1\)), le dénominateur s'annule pour \(\displaystyle{K\textrm{e}^{2x}=1}\), c'est à dire

\(\displaystyle{x=1/2\textrm{ln}(1/K)=1/2\textrm{ln}((y_0+1)/(y_0-1))+x_0}\).

Appelons \(b_0\) cette valeur. La solution est définie sur celui des \(2\) intervalles \(]-\infty,b_0[\) et \(]b_0,+\infty[\) qui contient \(x_0\) :

c'est le \(1\)er de ces \(2\) intervalles si \(x_0< b_0\), c'est à dire si \(\displaystyle{\textrm{ln}((y_0+1)/(y_0-1))>0}\), ou encore si \(y_0>1\) ; c'est le \(2\)eme si \(x_0> b_0\), c'est à dire si \(y_0<-1\).

4. Ces denier résultats permettent maintenant de répondre à la question \(6\). de la première partie : les solutions telles que \(u(0)<-1\) sont définies sur un intervalles de la forme \(]b,+\infty[\), \(b\) étant une valeur finie.