Problème 4 :
Partie
Les tangentes à l'hyperbole
On considère l'hyperbole \(H\) d'équation \(y = -1/(4x)\).
Question
Montrer que l'équation de la tangente à \(H\) en un point d'abscisse \(x_0\) est de la forme \(\displaystyle{y = C^2x + C}\) ; exprimer \(C\) en fonction de \(x_0\). Montrer que, réciproquement, toute droite d'équation \(\displaystyle{y = C^2x + C}\) est tangente à \(H\) en un point dont on exprimera l'abscisse en fonction de \(C\).
Solution détaillée
Le point de \(H\) d'abscisse \(x_0\) a pour ordonnée \(\displaystyle{y_0 = - 1/(4x_0)}\) ; la pente de la tangente passant par ce point est \(p = 1/(4x_0^2)\), donc l'équation de la tangente est
\(\displaystyle{y = y_0 + p(x - x_0) = 1/(4x_0^2) x - 1/(2x_0)}\).
Elle est bien de la forme \(\displaystyle{y = C^2x + C}\), avec \(\displaystyle{C = - 1/(2x_0)}\).
Réciproquement, si \(C<0\) il existe \(x_0\) réel non nul tel que \(C = - 1/(2x_0)\), donc la droite d'équation \(\displaystyle{y = C^2 x + C}\) est tangente à \(H\), au point d'abscisse \(\displaystyle{x_0 = - 1/(2C)}\).
Question
Soit \(F\) la famille des droites dont l'équation est de la forme \(\displaystyle{y = C^2x + C}\). Discuter, en fonction de \(x_0\) et \(y_0\) le nombre de droite de \(F\) passant par \((x_0, y0)\).
Solution détaillée
Pour que la droite d'équation \(\displaystyle{y = C^2x + C}\) passe par \(\displaystyle{(x_1, y_1)}\), il faut et il suffit que \(\displaystyle{y_1 = C^2x_1 + C}\), donc que \(C\) soit une solution (réelle !) de l'équation
\(\displaystyle{x_1 C^2 + C - y_1 = 0}\).
Si \(x_1 = 0\), l'équation en \(C\) se réduit à \(C = y_1\) ; elle ne correspond à une tangente que si \(C\neq 0\), donc \(y_1\neq 0\).
Sinon, l'équation est du \(2\)nd degré. La condition pour qu'une telle valeur \(C\) réelle existe est que le discriminant, égal à \(\displaystyle{1 + 4x_1y_1}\), soit positif ou nul, soit \(\displaystyle{4x_1y_1\ge q -1}\),
c'est à dire que le point \((x_1,y_1)\) soit situé entre les branches de l'hyperbole, ce qui correspond bien à l'intuition géométrique. De plus, si une des deux solutions est \(C = 0\), il faudra l'exclure (ce cas correspond à l'asymptote \(y = 0\), qu'on peut considérer comme une "tangente à l'infini").
On a donc les résultats suivants :
- si \(\displaystyle{x_1y_1< - 1/4}\), pas de tangente ;
- si \(\displaystyle{x_1y_1 = - 1/4}\), une seule tangente (\(C\) est racine double, le point est sur \(H\)) ;
- si \(\displaystyle{x_1y_1 > -1/4}\), deux tangentes, sauf dans les cas où \(x_1\neq 0\) et \(y_1 = 0\), ou bien \(x_1 = 0\) et \(y_1\neq 0\), où on a une seule tangente (correspondant à la solution non nulle de l'équation en \(C\)), ou encore si \(\displaystyle{x_1 = y_1 = 0}\), où il n'y a pas de tangente (l'équation en \(C\) se réduit à \(C = 0\)).
La figure ci-dessous illustre géométriquement ces cas : du point \(M\) on peut mener \(2\) tangentes à \(H\) ; des points \(N\), \(P\) et \(Q\), on ne peut en mener qu'une seule.
Question
En dérivant l'équation \(\displaystyle{y = C^2x + C}\), et en éliminant \(C\) entre l'équation et sa dérivée, montrer que toutes ces droites sont solution de l'équation différentielle
\(\displaystyle{y' = (y - xy')^2\quad(1)}\)
Solution détaillée
On cherche à éliminer \(C\) entre l'équation de la famille de droites et sa dérivée.
La dérivation de \(\displaystyle{y = C^2x + C}\) donne \(\displaystyle{y' = C^2}\), donc \(\displaystyle{y- xy' = C}\) ;
donc \(\displaystyle{y' = C^2 = (y - xy')^2}\), c'est à dire l'équation \((1)\).
Question
Montrer que toutes les solutions de \((1)\) sont aussi solutions de l'équation différentielle du second ordre \(\displaystyle{y'' = 2 xy'' (xy' - y)\quad(2)}\)
Remarquer que toutes les droites sont solutions de \((2)\). Les seules solutions "intéressantes" sont celles dont la dérivée seconde ne s'annule pas.
Solution détaillée
La dérivation membre à membre de \((1)\) donne
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}y" & = & 2(y - xy')(y' - y' - xy")\\& = & 2 xy" (xy' - y)\end{array}}\),
c'est bien l'équation \((2)\).
Remarquons que si \(y" = 0\), cette équation est trivialement vérifiée : comme c'est le cas pour toute droite, cette équation n'apporte aucune information sur les solutions rectilignes de \((1)\) ; en revanche elle peut en donner sur les solutions de \((1)\) qui ne sont pas des droites (ou des portions de droite), dans les parties du domaine de définition où on a \(y"\neq 0\).
Question
Montrer que les solutions de \((2)\) dont la dérivée seconde ne s'annule pas sont solution de
\(\displaystyle{y' = 1/(2x^2) + y/x\quad(3)}\).
Résoudre cette équation.
Solution détaillée
Si \(y"\neq 0\), on simplifier \((2)\) qui devient l'équation du premier ordre \(\displaystyle{1 = 2x(xy' - y)}\) ou encore, pour \(\displaystyle{x\neq 0}\), \(\displaystyle{y' = y/x + 1/(2x^2)\quad (3)}\). C'est une équation linéaire à coefficients non constants, elle est bien de la forme
\(\displaystyle{y' = a(x) y + b(x)}\), avec \(a(x) = 1/x\) et \(\displaystyle{b(x) = 1/(2x^2)}\).
L'équation homogène associée est \(y' = y/x\), dont la solution générale est \(\displaystyle{\textrm{ln} |y| = \textrm{ln}|x| + C}\), ou encore \(y = K x\), définie soit pour \(x>0\), soit pour \(x< 0\) (ici, \(A(x)\), primitive de \(a(x)\), vaut \(\textrm{ln}|x|\)).
Pour trouver une solution particulière de \((3)\), on remplace \(K\) par une fonction \(K(x)\), primitive de \(\displaystyle{b(x)\textrm{exp}(- A(x))}\), soit ici une primitive de \(\displaystyle{1/(2x^2)1/x = 1/(2 x^3)}\). On peut donc prendre \(\displaystyle{K(x) = - 1/(4 x^2)}\).
La solution générale de \((3)\) a donc pour équation \(\displaystyle{y = x [K(x) + L]}\) (\(L\) étant une constante réelle quelconque), ou encore
\(\displaystyle{y = - 1/(4x) + Lx}\).
Cette formule représente deux solutions, définies l'une pour \(x> 0\), l'autre pour \(x< 0\).
Question
Parmi les solutions de \((3)\), lesquelles sont solution de \((1)\) ? Préciser les intervalles de définitions.
Solution détaillée
Soit \(\displaystyle{u(x) = - 1/(4x) + Lx}\) une solution de \((3)\) , définie par exemple pour \(x >0\);
dans quel cas est-elle une solution de \(\displaystyle{(1)\quad y' = (y - xy')^2}\) ?
On a \(\displaystyle{u'(x) = 1/(4x^2) + L}\), d'où \(\displaystyle{u - xu' = - 1/(2x)}\) ; on aura donc \(\displaystyle{u' = (u - xu')^2}\) si et seulement si, pour tout \(x\neq 0\), \(\displaystyle{1/(4x^2) + L = 1/(4x^2)}\), autrement dit si et seulement si \(L = 0\).
Pour les\(x> 0\), la seule solution de \((1)\) dont la dérivée seconde ne s'annule pas est donc
\(\displaystyle{y = - 1/(4x)}\) (dont le graphe est une branche de l'hyperbole \(H\)).
Question
Soit \(x_0\) un réel positif. Montrer que la fonction \(u\) définie par
\(\displaystyle{u(x) = x /(4x_0^2) - 1/ (2x_0)}\) si \(x\leq x_0\) ,
\(\displaystyle{u(x) = - 1/(4x)}\) si \(x > x_0\) est dérivable en tout point et est une solution de \((1)\).
Solution détaillée
La fonction \(u\) est définie par morceaux :
Sur l'intervalle \((-\infty, x_0[\), le graphe de \(u\) est une portion de la tangente à \(H\) au point d'abscisse \(x_0\) : elle vérifie donc l'équation \((1)\) sur cet intervalle. Sur l'intervalle \(]x_0, +\infty)\), le graphe de \(u\) est une portion de l'hyperbole \(H\), et vérifie donc aussi l'équation \((1)\). Les deux portions se raccordent au point \(\displaystyle{(x_0, - 1/(4x_0))}\).
Reste à examiner le cas du point \(x_0\) lui-même : en ce point, la dérivée à gauche est \(\displaystyle{1/(4x_0^2)}\) (d'après la première équation de \(u\)) et, d'après sa deuxième équation, sa dérivée à droite est également \(\displaystyle{1/(4x_0^2)}\).
Il en résulte que \(u\) est dérivable en \(x_0\).
De plus, au point \(\displaystyle{(x_0, u(x_0))}\), on a \(\displaystyle{y - xy' = - 1/(4x_0) - x_0 . 1/(4x_0^2) = - 1/(2x_0)}\)
donc \(\displaystyle{(y - xy')^2 = 1/(4x_0^2) = y'}\) par conséquent l'équation \((1)\) est également vérifiée par \(u\) au point \(x_0\).
Finalement, \(u\) est solution de \((1)\) sur \(\mathbb R\) tout entier.
Une telle solution est tracée en rouge sur le dessin ci-dessous.
Remarque : il y a d'autres solutions passant par le point de \(H\) d'abscisse \(x_0\) : par exemple celle dont le graphe est la tangente, ou encore celle dont le graphe est une branche de l'hyperbole. Le théorème d'unicité ne s'applique donc pas en ce point, et d'ailleurs l'équation ne s'écrit pas sous la forme \(y' = f(x, y)\).