Exemple de structure d'espace vectoriel sur R+*
Partie
Question
Soit \(E=\mathbb R_+^*\). On définit sur \(E\) une loi interne, notée \(\bot\), par :
\(\begin{array}{ccc}E\times E&\rightarrow&E\\(x,y)&\mapsto&x\bot y=xy\end{array}\)
On définit sur \(E\) une loi externe, à domaine d'opérateurs \(\mathbb R\) notée \(*\), par :
\(\begin{array}{ccc}\mathbb R\times E&\rightarrow E\\(\lambda,x)&\mapsto&\lambda*x=x^{\lambda}\end{array}\)
Montrer que \((E,\bot,*)\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel.
Aide simple
Pour vérifier \(\lambda*(x\bot y)=\lambda*x\bot\lambda*y\)
Calculer le membre de gauche
\(\lambda*(x\bot y)=\lambda*(xy)=(xy)^{\lambda}=x^{\lambda}y^{\lambda}\),
puis celui de droite
\(\lambda*x\bot\lambda*y=x^{\lambda}\bot y^{\lambda}=x^{\lambda}y^{\lambda}\).
On constate qu'ils sont égaux, ce qui termine la vérification.
Aide méthodologique
Traduire, en se servant des définitions des lois, les différents axiomes puis les vérifier un à un.
Aide à la lecture
L'ensemble que l'on considère est \(\mathbb R_+^*=]0,+\infty[\) c'est-à-dire l'ensemble des réels strictement positifs.
Il est immédiat, d'après les propriétés connues de \(\mathbb R\), que si \(x\) et \(y\) sont dans \(\mathbb R_+^*\), le produit \(xy\) aussi, ce qui justifie l'existence de la loi interne \(\bot\).
De même si \(\lambda\) est un nombre réel quelconque et \(x\) un nombre réel strictement positif, \(x^{\lambda}=\exp(\lambda\ln x)\) est bien défini : c'est un réel strictement positif, ce qui justifie l'existence de la loi externe \(*\).
Solution détaillée
On vérifie donc les huit axiomes :
Axiomes relatifs à la loi interne
\(x\bot(y\bot z)=x\bot yz=x(yz)=xyz\)
\((x\bot y)\bot z=xy\bot z=(xy)z=xyz\)
Donc, quels que soient \(x\), \(y\) et \(z\) de \(E\), \(x\bot(y\bot z)=(x\bot y)\bot z\).
Cette dernière égalité exprime l'associativité de la loi interne.
\(x\bot y=xy\) et \(y\bot x=yx\) or \(xy=yx\) donc, quels que soient \(x\), \(y\) de \(E\), \(x\bot y=y\bot x\).
Cette dernière égalité exprime la commutativité de la loi interne.
Il est immédiat que, quel que soit \(x\) de \(E\), \(x\bot1=1\bot x\).
Donc \(1\) est l'élément neutre de la loi interne.
Soit \(x\) un élément de \(E\), \(x\) est un réel strictement positif donc son inverse \(\displaystyle{\frac{1}{x}}\) existe et est aussi élément de \(E\), or \(\displaystyle{x\bot\frac{1}{x}=1}\).
Ainsi tout élément de \(E\) possède un symétrique pour la loi interne.
Axiomes relatifs à la loi externe
Soient les réels \(\lambda\) et \(\mu\), et un élément \(x\) de \(E\).
\((\lambda\mu)*x=x^{\lambda\mu}\) et \(\lambda*(\mu*x)=\lambda*x^{\mu}=(x^{\mu})^{\lambda}=x^{\mu\lambda}\),
donc \((\lambda\mu)*x=\lambda*(\mu*x)\).
Quel que soit l'élément \(x\) de \(E\), \(1*x=x^1=x\).
Axiomes liant les deux lois : double distributivité
Soient les réels \(\lambda\) et \(\mu\), et un élément \(x\) de \(E\),
\((\lambda+\mu)*x=x^{\lambda+\mu}\) et \((\lambda*x)\bot(\mu*x)=x^{\lambda}\bot x^{\mu}=x^{\lambda}x^{\mu}=x^{\lambda+\mu}\),
donc \((\lambda+\mu)*x=(\lambda*x)\bot(\mu*x)\).
Soient le réel \(\lambda\) et deux éléments \(x\) et \(y\) de \(E\),
\(\lambda*(x\bot y)=\lambda*(xy)=(xy)^{\lambda}=x^{\lambda}y^{\lambda}\) et \((\lambda*x)\bot(\lambda*y)=x^{\lambda}\bot y^{\lambda}=x^{\lambda}y^{\lambda}\),
donc \(\lambda*(x\bot y)=(\lambda*x)\bot(\lambda*y)\).
Ainsi les huit axiomes sont satisfaits et \((\mathbb R_+^*,\bot,*)\) est un \(\mathbb R\)-espace vectoriel.