Propriétés de la somme de n vecteurs
Partie
Question
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel.
Soient \(\lambda\) un élément de \(\mathbf K\) et \(V_1,V_2,\cdots,V_n\) \(n\) éléments de \(E\), avec \(n>0\).
Montrer que \(\displaystyle{\lambda\left(\sum_{i=1}^{i=n}V_i\right)=\sum_{i=1}^{i=n}\lambda V_i}\).
Soient \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) \(n\) scalaires et \(V\) un vecteur.
Montrer que \(\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{i=n}\lambda_i\right)V=\sum_{i=1}^{i=n}\lambda_iV}\).
Aide méthodologique
Chacune de ces propriétés est vraie pour \(n=2\), cela résulte des axiomes d'espace vectoriel, on veut les démontrer pour un entier \(n\) quelconque, on aura donc tout intérêt à faire une démonstration par récurrence.
Aide à la lecture
Autrement dit, la propriété à démontrer dans la première question peut aussi s'écrire :
\(\lambda(V_1+V_2+\cdots+V_n)=\lambda V_1+\lambda V_2+\cdots+\lambda V_n\).
La propriété à démontrer dans la deuxième question peut aussi s'écrire :
\((\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)V=\lambda_1V+\lambda_2V+\cdots+\lambda_nV\).
Solution détaillée
Montrons que \(\displaystyle{\lambda\left(\sum_{i=1}^{i=n}V_i\right)=\sum_{i=1}^{i=n}\lambda V_i}\) :
La propriété est vraie pour \(n=1\), c'est immédiat.
Supposons la propriété vraie au rang \(p\) \((p\ge1)\) démontrons la au rang \(p+1\) :
Soient un scalaire \(\lambda\) et \(p+1\) vecteurs \(V_1,\cdots,V_{p+1}\),
\(\begin{array}{rll}\displaystyle{\lambda\left(\sum_{i=1}^{i=p+1}V_i\right)}&=&\displaystyle{\lambda\left(\sum_{i=1}^{i=p}V_i+V_{p+1}\right)}\\&=^{(*)}&\displaystyle{\lambda\left(\sum_{i=1}^{i=p}V_i\right)+\lambda V_{p+1}}\\&=^{(**)}&\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=p}\lambda V_i+\lambda V_{p+1}}\\&=&\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=p+1}\lambda V_i}\end{array}\)
\((*)\) Axiome d'espace vectoriel (2.)
\((**)\) Hypothèse de récurrence
Le raisonnement par récurrence est terminé et la propriété est vraie pour tout entier positif.
Montrons que \(\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{i=n}\lambda_i\right)V=\sum_{i=1}^{i=n}\lambda_iV}\) :
La propriété est vraie pour \(n=1\), c'est immédiat.
Supposons la propriété vraie au rang \(p\) (\(p\ge1\)) démontrons la au rang \(p+1\) :
Soient \(p+1\) scalaires \(\lambda_1,\cdots,\lambda_{p+1}\) et un vecteur \(V\),
\(\begin{array}{rll}\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{i=p+1}\lambda_i\right)V}&=&\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{i=p}\lambda_i+\lambda_{p+1}\right)V}\\&=^{(*)}&\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{i=p}\lambda_i\right)V+\lambda_{p+1}V}\\&=^{(**)}&\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=p}\lambda_iV+\lambda_{p+1}V}\\&=&\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=p+1}\lambda_iV}\end{array}\)
\((*)\) Axiome d'espace vectoriel (1.)
\((**)\) Hypothèse de récurrence