Combinaison linéaire dans R^4
Partie
Question
On considère les vecteurs de \(\mathbb R^4\) suivants :
\(u=(2,1,0,3)\), \(v=(3,-1,5,2)\), \(w=(-1,0,2,1)\).
Le vecteur \(t=(2,3,-7,3)\) est-il combinaison linéaire des vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) ?
Aide simple
La propriété suivante sera utile : deux quatre-uplets sont égaux si et seulement si les composantes de même rang sont égales.
Ce qui peut s'écrire en utilisant le symbolisme mathématique :
\((x_1,x_2,x_3,x_4)=(y_1,y_2,y_3,y_4)\Leftrightarrow\forall i,~1\le i\le4,~x_i=y_i\)
Aide méthodologique
La notion de combinaison linéaire est essentielle.
On cherche, à l'aide de calculs explicites, s'il existe des réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que \(t=\alpha u+\beta v+\gamma w\).
Solution détaillée
Rappel : Définition d'une combinaison linéaire de vecteurs
Une combinaison linéaire des vecteurs \(V_1,V_2,\cdots,V_n\) est un vecteur de la forme
\(\alpha_1V_1+\alpha_2V_2+\cdots+\alpha_nV_n\)
où \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) sont des scalaires.
Donc, ici, \(n=3\), les vecteurs sont \(u\), \(v\) et \(w\) et pour répondre à la question posée il faut chercher s'il existe des réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que \(\alpha u+\beta v+\gamma w=t\).
Cette égalité est équivalente à l'égalité \(\alpha(2,1,0,3)+\beta(3,-1,5,2)+\gamma(-1,0,2,1)=(2,3,-7,3)\).
Cette dernière égalité équivaut au système : \(\left\{\begin{array}{rlrcrrr}2\alpha&+&3\beta&-&\gamma & =&2\\\alpha&-&\beta& & &=&3\\&&5\beta&+&2\gamma & =&-7\\3\alpha&+&2\beta&+&\gamma & =&3\end{array}\right.\)
Pour faciliter les calculs de la méthode du pivot, on réordonne les équations et on obtient le système équivalent :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrrr}\alpha&-&\beta&&&=&3\\2\alpha&+&3\beta&-&\gamma&=&2\\3\alpha&+&2\beta&+&\gamma&=&3\\&&5\beta&+&2\gamma&=&-7\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr}\alpha&-&\beta&&&=&3&\\&&5\beta&-&\gamma&=&-4&\textrm{ }L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&&5\beta&+&\gamma&=&-6&\textrm{ }L_3\leftarrow L_3-3L_1\\&&5\beta&+&2\gamma&=&-7&\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr}\alpha&-&\beta&&&=&3&\\&&5\beta&-&\gamma&=&-4&\\&&&&2\gamma&=&-2&\textrm{ }L_3\leftarrow L_3-L_2\\&&&&3\gamma&=&-3&\textrm{ }L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array}\right.\)
d'où l'existence d'une solution : \(\gamma=-1\), \(\beta=-1\) et \(\alpha=2\).
Donc \(t=2u-v-w\), ainsi \(t\) est combinaison linéaire des vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\).