Introduction
On se pose la question suivante : \(E\) étant un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) étant une partie non vide de \(E, F\) peut-il être muni d'une structure d'espace vectoriel " déduite de celle de \(E\) " ?
L'ensemble \(F\) doit tout d'abord être muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe.
L'ensemble \(E\), ayant une structure d'espace vectoriel, possède une addition et une multiplication externe; \(F\) étant inclus dans \(E\) on sait additionner deux éléments de \(F\) et multiplier un élément de \(F\) par un scalaire appartenant à \(K\).
Peut-on ainsi définir dans \(F\) une loi interne et une loi externe ?
Une loi de composition interne définie dans \(F\) est une application de \(F \times F\) dans \(F\).
La somme de deux éléments de \(F\) doit donc être élément de \(F\).
Une loi de composition externe définie sur \(F\) à opérateurs dans \(\mathbf K\) est une application de \(\mathbf K\times F\) dans \(F\).
Le produit d'un élément de \(F\) par un scalaire doit donc être élément de \(F\).
Ce qui conduit à la notion de partie stable pour une loi.