Cas général
Structure de l'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces
L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de \(E\) est un sous espace vectoriel de \(E\).
Preuve :
Soit \(S\) une famille de sous-espaces vectoriels de \(E\), l'intersection des éléments de \(S\) est notée \(\displaystyle{\bigcap_{F \in S} } F\).
Si cette famille est indexée par l'ensemble d'indices \(I\), elle est alors notée \(S = \{ F_i \}_{i \in I}\) et l'intersection des éléments de \(S\) est notée \(\displaystyle{\bigcap_{i \in I} } F_i\).
La démonstration précédente se généralise aisément. \(\displaystyle{\bigcap_{i \in I} } F_i\) est non vide car, pour tout \(i\) de \(I\), \(0_E\) est élément de \(F_i\).
Soient \(u, v\) des éléments de \(\displaystyle{\bigcap_{i \in I} } F_i\) et \(\alpha\), \(\beta\) deux scalaires; on a, pour tout indice \(i\) de \(I\) :
\(u\) et \(v\) appartiennent à \(F_i, F_i\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) donc \(\alpha u + \beta u\) appartient à \(F_i\).
Par conséquent \(\alpha u + \beta v\) appartient à \(\displaystyle{\bigcap_{i \in I} } F_i\) , et on a ainsi établi que \(\displaystyle{\bigcap_{i \in I} } F_i\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
La démonstration, dans le cas où la famille n'est pas indexée, s'écrit de manière encore plus simple : elle est laissée à titre d'exercice.