Lien avec la notion de sous-espace vectoriel engendré par une partie
Construction d'un sous-espace vectoriel engendré par une partie
Soit \(A\) une partie quelconque d'un espace vectoriel \(E\). Il existe des sous-espaces vectoriels contenant \(A\), par exemple \(E\) lui-même.
Soit \(S\) l'ensemble des sous-espaces vectoriels contenant \(A\). Alors le sous-espace vectoriel engendré par \(A\) est égal à l'intersection des éléments de \(S\), soit \(\displaystyle{\bigcap_{F \in S} } F\)
Preuve :
\(\displaystyle{\bigcap_{F \in S} } F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), il contient \(A\), il est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant \(A\) : c'est donc le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\).
Remarque : pour les étudiants connaissant la théorie des groupes :
Cette caractérisation du sous-espace vectoriel engendré par une partie, est semblable à celle qui a été vue pour le sous-groupe engendré par une partie.