Constructions

Déterminons \(F+G\) dans le cas où\( F\) et \(G\) sont les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :

\(F = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, y = z = 0\}\)

et

\(G = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, x = z = 0\}\)

Un élément \(u\) de \(F+G\) s'écrit \(u = v+w\) où \(v\) est un élément de \(F\) et \(w\) un élément de \(G\); donc il existe deux nombres réels \(x\) et \(y\) tels que \(v = (x,0,0)\) et \(w=(0,y,0)\): donc \(u = (x,y,0)\).

Réciproquement un tel élément \(u = (x,y,0)\) est la somme de \((x,0,0)\) et de \((0,y,0)\)

Donc \(F+G = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3, z=0\}\)

Soient \(F'\) et \(G'\) les deux sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :

\(F' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, x =0\}\)

\(G' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, y =0\}\)

Dans cet exemple, montrons que \(F'+G' = \mathbb R^3\).

Par définition de \(F'+G'\), tout élément de \(F'+G'\) est contenu dans \(\mathbb R^3\);

mais réciproquement si \(u = (x,y,z)\) est un élément quelconque de \(\mathbb R^3\) :

\(u = (x,y,z) = (0,y,z) + (x,0,0)\).

donc u appartient à \(F' + G'\)