Généralisation à plusieurs sous-espaces vectoriels
La notion de somme de deux sous-espaces vectoriels d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel se généralise en la notion de somme de plusieurs sous-espaces.
Définition : Définition de la somme de n sous-espaces vectoriels
Si \(F_1, F_2, ... , F_n\) sont n sous-espaces vectoriels d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), l'ensemble de toutes les sommes \(x_1 + x_2 + ... + x_n\) où, pour tout entier \(p\) compris entre 1 et \(n\) l'élément \(x_p\) appartient à \(F_p\), est appelé somme des sous-espaces \(F_1, F_2, ... , F_n\) et est noté :
\(F_1, F_2, ... , F_n\) ou \(\displaystyle{ \sum_{p=1}^{p = n} F_p}\)
\(F_1, F_2, ... , F_n := \{ x \in E / \exists (x_1, x_2, ... ,x_n ) \in F_1 \times F_2 \times ... \times F_n : x = x_1 + x_2 + ... + x_n\}\)
Théorème : Théorème de structure de la somme de n sous-espaces vectoriels
La somme\( F_1, F_2, ... , F_n\) des sous-espaces \(F_p\), \(p\) compris entre 1 et \(n\), est un sous-espace vectoriel de\( E\) et c'est le sous-espace engendré par la réunion de tous les \(F_p\).
La démonstration est analogue au cas \(n = 2\).
Exemple : Exemple immédiat
Considérons dans \(\mathbb R^4\) les trois sous-espaces vectoriels \(F\), \(G\) et \(H\), engendrés respectivement par \((1,0,0,0), (0,1,0,0)\) et \((0,0,1,0)\), alors tout élément de la somme \(F + G + H\) s'écrit sous la forme \((x , y, z,0)\) et donc :
\(F + G + H = \{ (x, y, z, t) \in \mathbb R^4 / t = 0\}\)