Définition
Définition : Définitions
1) Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si leur somme est directe et est égale à l'espace vectoriel \(E\) tout entier
\(E = F \oplus G\)
2) Si \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires du \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), on dit que \(F\) est un supplémentaire de \(G\), ou que \(G\) est un supplémentaire de \(F\).
et donc d'après ce qui précède :
Propriété : Propriétés caractéristiques
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si tout élément de \(E\) s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\).
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si \(E = F + G\) et \(F \cap G = \{0\}\)
Remarque :
L'existence d'un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel est prouvée dans le cadre des espaces vectoriels de type fini.
Il n'y a pas unicité du supplémentaire d'un sous-espace vectoriel donné (voir exemple suivant).
Exemple :
L'espace vectoriel \(\mathbb R^2\) est la somme directe du sous-espace vectoriel \(F\) engendré par \((1,0)\) et du sous-espace \(G\) engendré par \((0,1)\), donc \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(\mathbb R^2\).
Mais l'espace vectoriel \(\mathbb R^2\) est aussi la somme directe du sous-espace vectoriel \(F\) engendré par \((1,0)\) et du sous-espace vectoriel \(H\) engendré par \((1,1)\), donc \(F\) et \(H\) sont aussi des sous-espaces supplémentaires de \(\mathbb R^2\)
Preuve : Preuve du fait que F et H sont des sous-espaces supplémentaires de R2
Soit \(u = (x, y)\) un élément de \(\mathbb R^2\) , cherchons deux éléments \(v \in F\) et \(w \in H\) tels que \(u = v + w\).
\(v \in F \Rightarrow \exists \alpha \in \mathbb R, v = (\alpha, 0)\)
\(w \in H \Rightarrow \exists \beta \in \mathbb R, w = (\beta, \beta)\)
\(u = v + w \Leftrightarrow (x,y) = (\alpha + \beta, \beta) \Leftrightarrow (\beta = y \textrm{ et }\alpha = x - y)\)
Ceci prouve que pour tout élément \(u = (x,y)\) de \(\mathbb R^2\) , il existe un unique élément \(v = (x - y, 0)\) de \(F\) et un unique élément \(w = (y,y)\) de \(H\) tels que \(u = v + w\).
On a bien \(\mathbb{R}^2 = F \oplus H\).