Exemple dans R3
Exemple : Exemple 1
Déterminons \(F + G\) dans le cas où \(F\) et \(G\) sont les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :
\(F = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, y = z = 0\}\)
et
\(G = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, x = z = 0\}\)
Un élément \(u\) de \(F + G\) s'écrit \(u = v + w\) où \(v\) est un élément de \(F\) et \(w\) un élément de \(G\); donc il existe deux nombres réels \(x\) et \(y\) tels que \(v = (x,0,0)\) et \(w=(0,y,0)\) : donc \(u = (x, y, 0)\).
Réciproquement un tel élément \(u = (x,y,0)\) est la somme de \((x,0,0)\) et de \((0,y,0)\).
Donc \(F+G = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, z =0\}\)
Exemple : Exemple 2
Soient \(F'\) et\( G'\) les deux sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :
\(F' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, x=0\}\)
et
\(G' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, y=0\}\)
Dans cet exemple, montrons que \(F'+ G' = \mathbb R^3\).
Par définition de \(F'+ G'\), tout élément de \(F'+ G'\) est contenu dans \(\mathbb R^3\).
Mais réciproquement si \(u = (x,y,z)\) est un élément quelconque de \(\mathbb R^3\) :
\(u = (x,y,z) = (0,y,z) + (x,0,0)\),
donc \(u\) appartient à \(F'+ G'\)
Dans l'exemple 1 précédent, la somme \(F + G\) est une somme directe, mais elle n'est pas l'espace vectoriel tout entier.
Dans l'exemple 2,\(F'\) et \(G'\) vérifient bien \(F' + G' = \mathbb R^3\) mais leur somme n'est pas directe.
Les sous-espaces \(F\) et \(G\) ne sont pas des sous-espaces vectoriels supplémentaires, \(F'\) et \(G'\) non plus.
Soient les sous-espaces vectoriels \(F''\) et \(G''\) de \(\mathbb R^3\) suivants :
\(F'' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, x - y - z = 0\}\) et \(G'' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3, y = z = 0\}\)
Les sous-espaces vectoriels \(F''\) et \(G''\) sont des sous-espaces de \(\mathbb R^3\) supplémentaires.
Preuve :
1) Il est immédiat de vérifier que \(F'' \cap G'' = \{ 0\}\)
En effet si l'élément \(u = (x, y, z)\) appartient à l'intersection de \(F''\) et de \(G''\), alors les coordonnées de \(u\) vérifient : \(x - y - z = 0\) (car \(u\) appartient à \(F''\)), et \(y = z = 0\) (car \(u\) appartient à \(G''\)), donc \(x = y + z = 0\) et \(u = (0,0,0)\).
2) Il reste à démontrer que\( F'' + G'' = \mathbb R^3\).
Soit donc \(u = (x, y, z)\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^3\) ; il faut déterminer des éléments \(u_1\) de \(F''\) et \(u_2\) de \(G''\) dont la somme soit égale à \(u : u = u_1 + u_2\).
L'élément \(u_1\) doit être tel que \(u_1 = (x_1, y_1, z_1)\) avec \(x_1 - y_1 - z_1 = 0\) et l'élément \(u_2\) tel que \(u_2 = (x_2, y_2, z_2)\) avec \(y_2 = z_2 =0\).
Comme \(u = u_1 + u_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)\), les coordonnées de ces éléments doivent vérifier :
\(x = x_1 + x_2, y = y_1 + y_2 = y_1\) ((puisque \(y_2 = 0\)), \(z=z_1+ z_2\) (puisque\( z_2 = 0\)),
et\( x_1 - y_1 - z_1 = 0\) donc \(x_1 = y_1 + z_1 = y + z\),
d'où \(x_2 = x - x_1 = x - y -z\) et donc \(u_1 = (y + z, y, z)\) et \(u_2 = (x - y - z,0,0)\).
Ces conditions nécessaires sur \(u_1\) et \(u_2\) sont aussi suffisantes puisque tout élément \((x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) vérifie :
\((x,y,z) = (y + z, y, z) + (x - y - z, 0,0)\) où \((y + z, y,z) \in F''\) et \((x - y - z, 0,0) \in G''\).
Remarque :
La vérification du 1) était inutile puisque la recherche de \(u_1\) et de \(u_2\) montre leur unicité. Mais lorsqu'on ne sait pas si la somme est directe ou ne l'est pas, il est souvent plus facile de commencer par vérifier si l'intersection est nulle ou ne l'est pas.