Structure d'espace vectoriel
Soit \(X\) un ensemble et \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et soit \(F (X, E)\) l'ensemble des applications de \(X\) dans \(E\). L'ensemble \(F (X, E)\) peut être muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe de domaine d'opérateurs \(\mathbf K\) de la manière suivante :
Définition : Définition de la loi interne +
Soit \(f\) et \(g\) deux éléments de \(F (X, E)\), à tout élément \(x\) de \(X\) on peut faire correspondre l'élément \(f(x) + g(x)\) de \(E\).
On définit ainsi une application de \(X\) dans \(E\) qu'on notera \(f+g\) :
\(\begin{array}{rcl}f+g : X &\to& E\\x &\mapsto& f(x) + g(x)\end{array}\)
Définition : Définition de la loi externe
Soit \(\alpha\) un élément de \(\mathbf K\), et \(f\) un élément de \(F(X,E)\), à tout élément \(x\) de \(X\) on peut faire correspondre l'élément \(\alpha f(x)\) de \(E\).
On définit ainsi une application de \(X\) dans \(E\) qu'on notera \(\alpha f\) :
\(\begin{array}{rcl}\alpha f : X &\to& E\\x &\mapsto& \alpha f(x)\end{array}\)
Remarque :
Ces deux définitions se réfèrent aux lois de composition définies sur \(E\); l'ensemble \(X\) par contre est un ensemble quelconque, pouvant être dépourvu de toute structure algébrique.
Théorème : Théorème de structure
L'ensemble \(F(X,E)\) des applications de l'ensemble \(X\) dans le \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), muni des deux lois définies précédemment, est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel.
La démonstration des huit axiomes des espaces vectoriels découle des axiomes vérifiés par les lois de composition du \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).
L'élément neutre de la loi interne est l'application de \(X\) dans \(E\) définie par :
\(\forall x \in X, f(x) = 0_E\), c'est la fonction nulle.
Le symétrique d'un élément \(f\) de \(F(X , E)\) est l'application \(g\) de \(X\) dans \(E\) définie par :
\(\forall x \in X, g(x) = - f(x)\), elle est notée \(-f\).