Exemples
L'ensemble des applications d'une partie de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel, en particulier pour tout élément \(a\) et \(b\) de \(\mathbb R\), \(a \le b\), l'ensemble des applications de l'intervalle \([a, b]\) L'ensemble des applications d'une partie de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel, en particulier pour tout élément \(a\) et \(b\) de \(\mathbb R\), l'ensemble des applications de l'intervalle dans \(\mathbb R\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel; de même l'ensemble des applications de \(\mathbb R\) dans\( \mathbb R\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel (c'est le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel des suites réelles).
L'ensemble des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel, si on considère \(\mathbb C\) en tant que \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel, c'est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel si on considère \(\mathbb C\) en tant que \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel (c'est la structure de l'espace d'arrivée \(E\) qui définit la structure de l'ensemble des applications de \(X\) dans \(E\)).
Remarque :
Les ensembles \(\mathbb R^2\) et \(F(\{1,2\} , \mathbb R)\) sont distincts puisque l'un est un produit cartésien et l'autre un ensemble d'applications. Toutefois, on peut faire correspondre à tout couple \((x,y)\) de \(\mathbb R^2\) a fonction \(f\) définie par
\(f(1) = x\) et \(f(2) = y\)
Réciproquement, à tout \(g\) élément de \(F(\{1,2\} ,\mathbb R)\), on peut faire correspondre le couple \((f(1), f(2))\) de \(\mathbb R^2\).
On constate alors que ces correspondances conservent les additions et les multiplications par un scalaire définies précédemment. Les mécanismes de règles opératoires sont donc les mêmes dans ces deux ensembles.
Cette remarque donne un exemple de l'utilité de l'introduction axiomatique de la structure d'espace vectoriel.