Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (1)
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Dans l'ensemble \(F(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), on conserve l'addition usuelle \(f+g\) où est l'application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) telle que \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) mais on modifie la multiplication par un scalaire, en posant : \((\lambda.f)(x)=f(\lambda x)\).
Montrer que \(F(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) muni de ces deux opérations n'est pas un espace vectoriel en raison d'un seul axiome non vérifié.
Solution
Puisque l'addition est celle utilisée habituellement dans cet ensemble de fonctions, elle vérifie bien les quatre propriétés suivantes :
- l'associativité : \((f+g)+h=f+(g+h)\) pour toutes fonctions \(f\), \(g\), \(h\);
- la commutativité : \(f+g=g+f\) pour toutes fonctions \(f\) et \(g\) ;
- l'existence d'un neutre : \(f=0\), définie par \(\forall x\in\mathbb R\), \(f(x)=0\);
- l'existence d'un opposé pour toute fonction \(f\) : \((-f)\) est la fonction \(x\mapsto-f(x)\).
La multiplication par un scalaire définie ici vérifie encore les propriétés :
- le scalaire \(1\) est tel que \(1.f=f\) puisque \((1.f)(x)=f(1x)=f(x)\);
- l'associativité car \(\lambda.(\mu.f)\) et \((\lambda\mu).f\) sont égales à la fonction \(x\mapsto f(\lambda\mu x)\);
- la distributivité des fonctions car \(\lambda.(f+g)\) et \(\lambda.f+\lambda.g\) sont égales à la
fonction \(x\mapsto(f+g)(\lambda x)\).
Par contre la distributivité des scalaires est mise en défaut car \((\lambda+\mu).f\) est la fonction \(x\mapsto f(\lambda x+\mu x)\) alors que \(\lambda.f+\mu.f\) est la fonction \(x\mapsto f(\lambda x)+f(\mu x)\).
Ces deux fonctions sont en général différentes (par exemple en considérant la fonction \(f\): \(x\mapsto x^2\), on constate que la fonction \((2+3).f\), \((x\mapsto f(5x)=25x^2)\) est distincte de la fonction \(2.f+3.f\),
\((x\mapsto f(2x)+f(3x)=4x^2+9x^2=13x^2)\).