Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (2)
Durée : 12 mn
Note maximale : 10
Question
On définit sur \(\mathbb{R}^2\), non pas les opérations habituelles, mais une addition et une multiplication par un scalaire réel, de la manière suivante :
Premier cas : \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\); \(\lambda.(a,b)=(\lambda a,b)\)
Deuxième cas : \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\); \(\lambda.(a,b)=(\lambda^2a,\lambda^2b)\)
Troisième cas :\((a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\); \(\lambda.(a,b)=(\lambda a,\lambda b)\)
Vérifier, dans chacun des cas, si \(\mathbb{R}^2\), muni de ces opérations, est un \(\mathbb{R}\textrm{-espace}\) vectoriel.
Solution
Barème : 3pts pour le premier cas, 3pts pour le deuxième et 4pts pour le troisième.
Dans les deux premiers cas, l'addition définie sur \(\mathbb R^2\) est celle définie habituellement, donc les axiomes de la loi + sont satisfaits.
Mais on constate ensuite que :
- dans le premier cas, la distributivité des scalaires n'est pas satisfaite : par exemple
\((2+3).(\mathrm{1,1})=5.(\mathrm{1,1})=(\mathrm{5,1})\) n'est pas égal à \(2.(\mathrm{1,1})+3.(\mathrm{1,1})=(\mathrm{2,1})+(\mathrm{3,1})=(\mathrm{5,2})\);
- dans le deuxième cas, non plus : par exemple
\((1+1).(\mathrm{2,3})=2.(\mathrm{2,3})=(\mathrm{8,12})\) est différent de \(1.(\mathrm{2,3})+1.(\mathrm{2,3})=(\mathrm{2,3})+(\mathrm{2,3})=(\mathrm{4,6})\);
- dans le troisième cas, l'addition n'est pas commutative :
\((\mathrm{0,1})+(\mathrm{2,3})=(\mathrm{1,5})\) est distinct de \((\mathrm{2,3})+(\mathrm{0,1})=(\mathrm{5,1})\).
Dans aucun de ces cas, \(\mathbb{R}^2\) n'est un espace vectoriel.
Remarque :
pour vérifier que \(\mathbb{R}^2\) n'est pas un espace vectoriel pour les lois considérées, il suffit de montrer qu'un des axiomes n'est pas satisfait, donc de trouver un exemple mettant en défaut cet axiome.