Caractérisation des parties libres

ThéorèmeThéorème de caractérisation des parties libres

Soient \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(\mathbf K\), \(n\) un entier supérieur ou égal à 1 et \(v_1, v_2, ... , v_n\) des vecteurs de \(E\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. Les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement indépendants.

  2. La somme des sous espaces \(\mathbf{K}v_i\) est directe c'est-à-dire :

    \(\mathbf{K}v_1 + \mathbf{K}v_2 + ... + \mathbf{K}v_n = \mathbf{K}v_1 \oplus \mathbf{K}v_2 \oplus ... \oplus \mathbf{K}v_n\).

  3. Les coefficients de l'écriture d'un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont uniques.

Preuve

  • L'équivalence \(2. \Leftrightarrow 3.\)  a déjà été vue dans le cours sur les sommes directes de sous-espace vectoriels.

  • Preuve de l'implication \(1. \Rightarrow 3.\) :

    Soit un vecteur \(v\) combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\). Soient deux écritures de v sous une telle forme. Soit donc

    \((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbf{K}^n \textrm{ tel que } \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_n v_n = v\)

    et

    \((\beta_1, \beta_2, ... , \beta_n) \in \mathbf{K}^n \textrm{ tel que } \beta_1v_1 + \beta_2v_2 + ... + \beta_n v_n = v\)

    De l'égalité \(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_n v_n = \beta_1v_1 + \beta_2v_2 + ... + \beta_n v_n\), résulte immédiatement grace aux règles de calcul dans les espaces vectoriels, l'égalité :

    \((\alpha_1 - \beta_1)v_1 + (\alpha_2 - \beta_2)v_2 + ... + (\alpha_n - \beta_n)v_n = 0\)

    Alors comme les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement indépendants, il vient :

    \(\forall i , 1 \le i \le n, \alpha_i - \beta_i = 0\), soit \(\alpha_i = \beta_i\)

    Les coefficients de l'écriture de v comme combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont donc uniques.

  • Preuve de l'implication \(3.\Rightarrow 1.\)

    Soient \(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n\) des scalaires tels que \(\lambda_1v_1, \lambda_2v_2, ... , \lambda_nv_n = 0_E\).

    Comme l'on a aussi l'égalité : \(0_K v_1 + 0_Kv_2 + ... + 0_Kv_n = 0_E\), il vient :

    \(\lambda_1v_1, \lambda_2v_2, ... , \lambda_nv_n = 0_K v_1 + 0_Kv_2 + ... + 0_Kv_n = 0_E\)

    L'unicité des coefficients de l'écriture d'un vecteur (ici le vecteur nul) comme combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) (propriété \(3.\)) implique que :

    \(\forall i, 1\leq i \leq n, \lambda_i = 0_K\)

    Ce qui signifie que les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement indépendants.