Espace vectoriel de type fini

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et \(F\) et \(G\) deux hyperplans distincts de \(E\), \((\mathrm{dim} F = \mathrm{dim} G = n-1)\), la dimension de \(F \cap G\) vérifie :

\(\mathrm{dim}(F + G) = \mathrm{dim} F + \mathrm{dim} G - \mathrm{dim} (F \cap G)\)

Or, puisque \(F\) et \(G\) sont distincts, \(F + G\) contient strictement \(F\).

Ainsi, la dimension de \(F + G\) ne peut être que \(n\), ce qui entraîne que \(F + G = E\).

Donc \(\mathrm{dim}(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n-2\).

Pour \(n=3\), on en déduit que l'intersection de deux plans vectoriels non égaux est une droite vectorielle.