Espace vectoriel de type fini

Soit à chercher le rang de la famille des 5 vecteurs de \(\mathbb R^4\) suivants :

\(\begin{array}{lllllccccccccc}v_1&=&(&1&,&1&,&1&,&1&)\\v_2&=&(&-1&,&2&,&0&,&1&)\\v_3&=&(&3&,&2&,&-1&,&-3&)\\v_4&=&(&3&,&5&,&0&,&-1&)\\v_5&=&(&3&,&8&,&1&,&1&)\\\end{array}\)

Comme tout sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) a une dimension inférieure ou égale à la dimension de \(\mathbb R^4\) qui est égale à 4, le rang des 5 vecteurs est strictement inférieur à 5.

On laisse inchangé \(v_1\) et on remplace, pour i tel que \(2 \le i \le 5\) , les vecteurs \(v_i\) respectivement par\( v'_i = v_i - \alpha_i v_i\) de manière à ce que la première composante de \(v'_i\) soit nulle. Cela donne :

\(\begin{array}{lllllccccccccccccc}&&v_1&=&v'_1&=&(&1&,&1&,&1&,&1&)\\v_2&+&v_1&=&v'_2&=&(&0&,&3&,&1&,&2&)\\v_3&-&3v_1&=&v'_3&=&(&0&,&-1&,&-4&,&-6&)\\v_4&-&3v_1&=&v'_4&=&(&0&,&2&,&-3&,&-4&)\\v_5&-&3v_1&=&v'_5&=&(&0&,&5&,&-2&,&-2&)\\\end{array}\)

Le rang des vecteurs \(v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\) est donc égal au rang des vecteurs \(v'_1, v'_2, ... , v'_5\).

On recommence à partir des vecteurs \(v'_1, v'_2, ... , v'_5\). Pour faciliter les calculs (en particulier pour éviter les fractions), on gardera \(v'_3\) et on remplacera les autres suivant le procédé précédent de manière à avoir des vecteurs dont la deuxième composantes soit nulle.

\(\begin{array}{lllllccccccccccccc}&&v'_1&=&v''_1&=&(&1&,&1&,&1&,&1&)\\&&v'_3&=&v''_3&=&(&0&,&-1&,&-4&,&-6&)\\v'_2&+&3v'_3&=&v''_2&=&(&0&,&0&,&-11&,&-16&)\\v'_4&+&2v'_3&=&v''_4&=&(&0&,&0&,&-11&,&-16&)\\v'_5&+&5v'_3&=&v''_5&=&(&0&,&0&,&-22&,&-32&)\\\end{array}\)

Le rang des vecteurs \(v'_1, v'_2, ... , v'_5\) est égal au rang des vecteurs \(v''_1, v''_2, ... , v''_5\).

On recommence, en remarquant que \(v''_2 = v''_4\) et \(v''_5  = 2 v''_4\). Donc on a immédiatement :

\(\begin{array}{lllllccccccccccccc}&&v''_1&=&v'''_1&=&(&1&,&1&,&1&,&1&)\\&&v''_3&=&v'''_3&=&(&0&,&-1&,&-4&,&-6&)\\&&v''_2&=&v'''_2&=&(&0&,&0&,&-11&,&-16&)\\v''_4&-&v''_2&=&v'''_4&=&(&0&,&0&,&0&,&0&)\\v''_5&-&2v''_2&=&v'''_5&=&(&0&,&0&,&0&,&0&)\\\end{array}\)

Le rang des vecteurs \(v''_1, v''_2, ... , v''_5\) est égal au rang des vecteurs \(v'''_1, v'''_2, ... , v'''_5\).

Mais, comme les vecteurs \(v'''_4 \textrm{ et } v'''_5\) sont nuls, le rang des vecteurs \(v'''_1, v'''_2, ... , v'''_5\) est égal à celui des vecteurs \(v'''_1, v'''_2, v'''_3\).

Ces derniers satisfont aux hypothèses de la proposition 2 donc leur rang est égal à 3.

Il est intéressant de noter que cette méthode permet non seulement de déterminer le rang des vecteurs \(v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\), mais aussi les relations de dépendance linéaire qui existent entre ces vecteurs.

En effet la recherche précédente s'est achevée par les égalités : \(v''_2 = v''_4\) et \(v''_5 = 2 v''_4\), d'où, en remplaçant les vecteurs \(v''_2, v''_4, v''_5\) par leur expression en fonction des vecteurs \(v'_i\) puis ceux-ci par leur expression en fonction des vecteurs initiaux \(v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\), il est possible de déduire, successivement, les égalités suivantes :

\(\left\{\begin{array}{rcl} v'_4 + 2v'_3&=&v'_2 + 3v'_3 \\ v'_5 + 5 v'_3 &=& 2 v'_2 + 3 v'_3\end{array}\right.\) soit \(\left\{\begin{array}{rcl} v'_4 &=& v'_2 + v'_3 \\ v'_5 &=& 2 v'_2 - 2v'_3\end{array}\right.\)

Ce qui donne finalement les relations :

\(\left\{\begin{array}{rcl} v_4 - 3v_1 &=& v_2 + v_1 + v_3\\ v_5 - 3 v_1 &=& 2v_2 + 2 v_1 - 2(v_3 - 3 v_1)\end{array}\right.\) soit \(\left\{\begin{array}{rcl} v_4 &=& v_1 + v_2 + v_3 \\ v_5 &=& 11 v_1 + 2 v_2 - 2 v_3\end{array}\right.\)

Il est possible de déduire, en outre, que \((v_1, v_2, v_3)\) est une base du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) ngendré par les vecteurs \(v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\).