Vérifier que deux systèmes de vecteurs engendrent le même sous-espace
Durée : 7 mn
Note maximale : 10
Question
Dans \(\mathbb R^3\), soit \(E_1\) le sous-espace engendré par \(v_1=(2,3,-1)\) et \(v_2=(1,-1,-2)\),
et \(E_2\) le sous-espace engendré par \(w_1=(3,7,0)\) et \(w_2=(5,0,-7)\).
Montrer que \(E_1=E_2\), en donner la dimension.
Déterminer une base de \(\mathbb R^3\) contenant les vecteurs \(v_1\) et \(v_2\).
Solution
Montrons d'abord que \(w_1\) et \(w_2\) appartiennent à \(E_1\).
On cherche donc \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) des réels tels que \(w_1=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2\) d'où le système :
\(\begin{array}{rcl}{\left\{\begin{array}{rcrcl}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\3\lambda_1&-&\lambda_2&=&7\\-\lambda_1&-&2\lambda_2&=&0\end{array}\right.}&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrl}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&3&\\5\lambda_1&&&=&10&L_2\leftarrow L_1+L_2\\-3\lambda_1&&&=&6&L_3\leftarrow L_3+2L_1\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&2\\\lambda_2&=&-1\end{array}\right.}\end{array}\)
d'où \(w_1=2v_1-v_2\).
De même on démontre que : \(w_2=v_1+3v_2\), d'où \(E_2\) est inclus dans \(E_1\),
puis, \(\displaystyle{v_1=\frac{3}{7}w_1+\frac{1}{7}w_2}\) et \(\displaystyle{v_2=\frac{-1}{7}w_1+\frac{2}{7}w_2}\), d'où \(E_1\) est inclus dans \(E_2\),
on a donc \(E_1=E_2\).
La famille \(\{v_1,v_2\}\) est, par définition, génératrice de \(E_1\). Elle est libre car les composantes des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. Elle détermine donc une base de \(E_1\). D'où \(\dim E_1=2\).
Remarque :
pour montrer l'égalité de \(E_1\) et \(E_2\), on aurait pu utiliser leur dimension.
En effet on a démontré \(\dim E_1=2\) et on démontre de même \(\dim E_2=2\). L'inclusion \(E_2\subset E_1\)est alors suffisante pour conclure que \(E_1\) et \(E_2\) sont égaux.
Complétons la famille libre \(\{v_1,v_2\}\) par \(v_3=(1,0,0)\).
Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\),\(\lambda_3\) trois réels tels que \(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0\).
Les réels \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) sont solutions du système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}2\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&=&3\\3\lambda_1&-&\lambda_2&&&=&0\\-\lambda_1&-&2\lambda_2&&&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0\)
La famille \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est donc libre.
Elle a trois éléments, or \(\textrm{dim }\mathbb R^3=3\), elle détermine donc une base de \(\mathbb R^3\).
Remarque :
n'importe quel vecteur n'appartenant pas à \(E_1\) convient pour compléter \(\{v_1,v_2\}\).