Rendre minimale une famille génératrice [Espace vectoriel de type fini]

Rendre minimale une famille génératrice

Durée : 8 mn

Note maximale : 10

Question

On considère dans $\mathbb R^4$ ,

le sous-espace vectoriel $F$ engendré par les vecteurs

$v_1=(1,2,3,4), v_2=(2,2,3,6), v_3=(0,2,4,4)$

et le sous-espace vectoriel $G$ engendré par les vecteurs $w_1=(1,0,-1,2), w_2=(2,3,0,1)$ .

Trouver une base et la dimension de $F+G$ .

Solution

La famille $\{v_1,v_2,v_3,w_1,w_2\}$ est génératrice de $F+G$ , mais elle n'est pas libre car elle possède 5 éléments et la dimension de $\mathbb R^4$ est égale à 4.

Etudions l'indépendance de la famille $\{v_1,v_2,v_3,w_1\}$ .

Soit $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4$ des réels tels que $\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4w_1=0_{\mathbb R^4}$ alors

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0\\2\mu_1&+&2\mu_2&+&2\mu_3&&&=&0\\3\mu_1&+&3\mu_2&+&4\mu_3&-&\mu_4&=&0\\4\mu_1&+&6\mu_2&+&4\mu_3&+&2\mu_4&=&0\end{array}\right.$

Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient les systèmes équivalents suivants :

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0&\\&-&2\mu_2&+&2\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&-&3\mu_2&+&4\mu_3&-&4\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-3L_1\\&-&2\mu_2&+&4\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-4L_1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0&\\&-&\mu_2&+&\mu_3&-&\mu_4&=&0&L_2\leftarrow(1/2)L_2\\&&&&\mu_3&-&\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-(3/2)L_2\\&&&&2\mu_3&&&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array}\right.$

dont l'unique solution est $\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=0$ .

La famille $\{v_1,v_2,v_3,w_1\}$ est donc libre ; c'est une famille libre de $F+G$ , donc $\dim(F+G)\ge4$ .

Or $F+G$ étant un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ , $\dim(F+G)\le4$ .

Donc $\dim(F+G)=4$ et $(v_1,v_2,v_3,w_1)$ est une base de $F+G$ .

Remarque :

$F+G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ de dimension 4 donc $F+G=\mathbb R^4$ .