La famille \{v_1,v_2,v_3,w_1,w_2\} est génératrice de F+G, mais elle n'est pas libre car elle possède 5 éléments et la dimension de \mathbb R^4 est égale à 4.
Etudions l'indépendance de la famille \{v_1,v_2,v_3,w_1\}.
Soit \mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4 des réels tels que \mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4w_1=0_{\mathbb R^4} alors
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0\\2\mu_1&+&2\mu_2&+&2\mu_3&&&=&0\\3\mu_1&+&3\mu_2&+&4\mu_3&-&\mu_4&=&0\\4\mu_1&+&6\mu_2&+&4\mu_3&+&2\mu_4&=&0\end{array}\right.
Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient les systèmes équivalents suivants :
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0&\\&-&2\mu_2&+&2\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&-&3\mu_2&+&4\mu_3&-&4\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-3L_1\\&-&2\mu_2&+&4\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-4L_1\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0&\\&-&\mu_2&+&\mu_3&-&\mu_4&=&0&L_2\leftarrow(1/2)L_2\\&&&&\mu_3&-&\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-(3/2)L_2\\&&&&2\mu_3&&&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array}\right.
dont l'unique solution est \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=0.
La famille \{v_1,v_2,v_3,w_1\} est donc libre ; c'est une famille libre de F+G, donc \dim(F+G)\ge4.
Or F+G étant un sous-espace vectoriel de \mathbb R^4, \dim(F+G)\le4.
Donc \dim(F+G)=4 et (v_1,v_2,v_3,w_1) est une base de F+G.