Rendre minimale une famille génératrice
Durée : 8 mn
Note maximale : 10
Question
On considère dans \(\mathbb R^4\),
le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par les vecteurs
\(v_1=(1,2,3,4), v_2=(2,2,3,6), v_3=(0,2,4,4)\)
et le sous-espace vectoriel \(G\) engendré par les vecteurs \(w_1=(1,0,-1,2), w_2=(2,3,0,1)\).
Trouver une base et la dimension de \(F+G\).
Solution
La famille \(\{v_1,v_2,v_3,w_1,w_2\}\) est génératrice de \(F+G\), mais elle n'est pas libre car elle possède 5 éléments et la dimension de \(\mathbb R^4\) est égale à 4.
Etudions l'indépendance de la famille \(\{v_1,v_2,v_3,w_1\}\).
Soit \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4\) des réels tels que \(\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4w_1=0_{\mathbb R^4}\) alors
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0\\2\mu_1&+&2\mu_2&+&2\mu_3&&&=&0\\3\mu_1&+&3\mu_2&+&4\mu_3&-&\mu_4&=&0\\4\mu_1&+&6\mu_2&+&4\mu_3&+&2\mu_4&=&0\end{array}\right.\)
Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient les systèmes équivalents suivants :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0&\\&-&2\mu_2&+&2\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&-&3\mu_2&+&4\mu_3&-&4\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-3L_1\\&-&2\mu_2&+&4\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-4L_1\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&2\mu_2&&&+&\mu_4&=&0&\\&-&\mu_2&+&\mu_3&-&\mu_4&=&0&L_2\leftarrow(1/2)L_2\\&&&&\mu_3&-&\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-(3/2)L_2\\&&&&2\mu_3&&&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array}\right.\)
dont l'unique solution est \(\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=0\).
La famille \(\{v_1,v_2,v_3,w_1\}\) est donc libre ; c'est une famille libre de \(F+G\), donc \(\dim(F+G)\ge4\).
Or \(F+G\) étant un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\), \(\dim(F+G)\le4\).
Donc \(\dim(F+G)=4\) et \((v_1,v_2,v_3,w_1)\) est une base de \(F+G\).
Remarque :
\(F+G\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) de dimension 4 donc \(F+G=\mathbb R^4\).