Application linéaire

L'application \(f\) définie par

\(\left[\begin{array}{llccccc}f &:& \mathbb R^3& \rightarrow &\mathbb R^2\\&&(x,y,z)& \longmapsto &(x,y+z)\end{array}\right.\)

est linéaire. En effet, soient \(u = (x,y,z)\) et \(v = (x',y',z')\)

\(\begin{array}{rcl}f(u + v) &=& f((x+x', y + y', z+z'))\\&=& (x + x', (y+y') + (z+z'))\\&=& (x + x', y + z + y' + z')\\&=& (x, y+z) + (x',y' + z')\\&=& f(u) + f(v)\end{array}\)

\(\lambda\) étant un réel,

\(\begin{array}{rcl}f(\lambda u) &=& f(( \lambda x, \lambda y, \lambda z))\\&=& (\lambda x, \lambda y + \lambda z)\\&=& \lambda (x,y,z)\\&=& \lambda f(u)\end{array}\)

Soient \(P_2\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2,

et f l'application de \(P_2\) dans \(\mathbb R^2\), définie par :

\(\left[\begin{array}{llccccc}f &:& P_2& \rightarrow &\mathbb R^2\\&&p& \longmapsto &(p(1),p'(0))\end{array}\right.\)

Soient p et q deux vecteurs de \(P_2\),

\(\begin{array}{rcl}f(p + q) &=& ((p + q)(1), (p + q)' (0))\\&=& (p(1) + q(1), p'(0) + q'(0))\\&=& (p(1), p'(0) + (q(1), q'(0))\\&=& f(p) + f(q)\end{array}\)

\(\lambda\) étant un réel,

\(\begin{array}{rcl}f(\lambda p) &=& ((\lambda p)(1), (\lambda p)' (0))\\&=& ((\lambda p)(1), (\lambda p)' (0))\\&=& (\lambda p(1), \lambda p'(0))\\&=& \lambda (p(1), p'(0))\\&=& \lambda f(p)\end{array}\)

Soient \(D( \mathbb R, \mathbb R)\) l'espace vectoriel des fonctions dérivables sur \(\mathbb R\), \(F( \mathbb R, \mathbb R)\) l'espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), et d l'application de \(D( \mathbb R, \mathbb R)\) dans \(F(\mathbb R, \mathbb R)\) définie par

\(\left[\begin{array}{llccccc}d &:& D( \mathbb R, \mathbb R)& \rightarrow &F( \mathbb R, \mathbb R)\\&&f& \longmapsto &f'\end{array}\right.\)

Soient \(f, g\) deux applications dérivables sur \(\mathbb R\), et \(\lambda\) un nombre réel,

\(d(f+g) = (f+g)' = f' + g' = d(f) + d(g)\) et \(d(\lambda f) = (\lambda f)' = \lambda f' = \lambda d(f)\)

\(d\) est donc linéaire.