Application linéaire

Soit $f$ une application linéaire du $\mathbf K \textrm{-espace}$ vectoriel $E$ dans le $\mathbf K \textrm{-espace}$ vectoriel $F$.

1. Si $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $f(A)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.

2. Si $B$ est un sous-espace vectoriel de $F$, alors $f^{-1}(B)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Comme $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il contient l'élément $0_E$, donc $f(0_E)$ (qui est égal à $0_F$) appartient à $f(A)$, d'où $f(A)$ est non vide.

Ensuite on montre que pour tout couple $(y_1, y_2)$ d'éléments de $f(A)$, et pour tout couple de scalaires $(\lambda_1, \lambda_2)$, l'élément $y = \lambda_1y_1 + \lambda_2y_2$ appartient à $f(A)$.

En effet :

$y_1 \in f(A) \Rightarrow \exists x_1 \in A, f(x_1) = y_1$

$y_2 \in f(A) \Rightarrow \exists x_2 \in A, f(x_2) = y_2$

donc $y = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$,

et comme $f$ est linéaire : $y = f(\lambda_1x_1 + \lambda_2 x_2)$.

Or $\lambda_1x_1 + \lambda_2 x_2$ est un élément de $A$, car $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$, donc $y$ est bien un élément de $f(A)$.

Comme $B$ est un sous-espace vectoriel de $F$, il contient l'élément $0_F$, or $0_F = f(0_E)$, donc $0_E$ appartient à $f^{-1}(B)$, d'où $f^{-1}(B)$ est non vide.

Ensuite on montre que pour tout couple $(x_1, x_2)$ d'éléments de $f^{-1}(B)$, et pour tout couple de scalaires $(\lambda_1, \lambda_2)$, l'élément $x = \lambda_1x_1 + \lambda_2x_2$ appartient à $f^{-1}(B)$.

En effet, comme $f$ est linéaire, $f(x) = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$ or

$x_1  \in f^{-1}(B) \Rightarrow f(x_1) \in B$

$x_2  \in f^{-1}(B) \Rightarrow f(x_2) \in B$

Comme $B$ est un sous-espace vectoriel de $F$, alors $f(x) = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2f(x_2)$ appartient à $B$, on en déduit que $x$ est élément de $f^{-1}(B)$.