Application linéaire entre deux espaces de même dimension
Théorème :
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(\mathbf K\). On suppose qu'ils ont même dimension.
Soit \(f\) une application linéaire de\( E\) dans \(F\).
Alors \(f\) est injective si et seulement si elle est surjective et donc si et seulement si elle est bijective ce qui se traduit par
\(\begin{array}{lclcc}f \textrm{ injective} &\Longleftrightarrow& f \textrm{ surjective}\\&\Updownarrow&\\&f \textrm{ bijective}&\end{array}\)
Autrement dit, dans le cas d'une application linéaire entre deux espaces de même dimension, il suffit pour démontrer qu'elle est bijective, de démontre l'une des deux propriétés injectivité ou surjectivité.
Preuve :
Cela est immédiat à partir du théorème du rang et du corollaire précédent. En effet la propriété \(f\) injective équivaut, d'après le théorème du rang, à : \(\mathrm{rang}(f) = \mathrm{dim}E\),
et donc d'après l'hypothèse sur l'égalité des dimensions de \(E\) et de \(F\), à \(\mathrm{rang}(f) = \mathrm{dim}F\).
Ceci équivaut à la propriété : \(f\) surjective.
Cela achève la démonstration.