Exemple d'utilisation du théorème du rang : Dimension de la somme de deux sous-espaces d'un espace de type fini

Le théorème du rang permet de démontrer d'une façon extrêmement rapide la formule de la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels d'un espace de type fini. Il existe une démonstration directe de ce résultat plus élémentaire quant aux outils utilisés, mais beaucoup plus longue. On peut la trouver dans la ressource sur les sous-espaces vectoriels d'un espace de type fini.

Soit donc \(E\) un espace de type fini, \(F\) et \(G\) deux sous espaces de \(E\).

Soit \(T\) l'application du produit cartésien \(F \times G\) dasn \(F+G\) définie par :

\(\begin{array}{rcl}T : F \times G &\to& F + G \\ (x,y) &\mapsto& x + y\end{array}\)

On sait que les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont de type fini. Il en résulte que \(F  \times G\) est un espace vectoriel de type fini, dont la dimension est égale à \(\textrm{dim }F + \textrm{dim } G\).

Il est facile de vérifier que \(T\) est une application linéaire. Il est de plus immédiat, d'après la définition de la somme de deux sous-espaces vectoriels, que \(T\) est surjective.

Le théorème du rang permet donc d'écrire la relation :

\(\mathrm{dim}(F + G) + \mathrm{dimKer}(T) = \mathrm{dim}(F \times G)\),

soit la relation : \(\mathrm{dim}(F + G) + \mathrm{dimKer}(T) = \mathrm{dim}(F) + \mathrm{dim}(G)\).

Il reste à déterminer le noyau de \(T\). Soit \((x,y)\) un élément du noyau de \(T\). Alors

  • \(x\) est un élément de \(F\),

  • \(y\) est un élément de \(G\),

  • \(x + y = 0\) ce qui équivaut à l'égalité \(y = -x\).

Ces trois propriétés prouvent que \(x\) et y sont des éléments de \(F \cap G\) et que \((x,y) = (x,-x)\).

Le noyau de \(T\) est donc contenu dans l'ensemble \(\{ (x,-x), x \in F \cap G\}\).

Comme l'autre inclusion est immédiate, il vient

\(\mathrm{Ker}T = \{(x,-x), x \in F \cap G\}\)

L'application de \(F \cap G\) dans \(\mathrm{Ker}T\) qui à \(x\) associe \((x,-x)\) est évidemment linéaire, surjective et injective. Donc les espaces \(F \cap G\) et \(\mathrm{Ker}(T)\) sont isomorphes. Ils ont donc même dimension (d'après le corollaire 1). On a donc le résultat :

\(\mathrm{dim}(F + G) = \mathrm{dim}(F) + \mathrm{dim}(G) - \mathrm{dim}(F \cup G)\)