Soit f :\(\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R\) définie par \(f((x,y,z))=3x+4y-5z\) alors \(f\) est une application linéaire de noyau \(F\) donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).
L'application \(f\) n'est pas l'application nulle donc son image est un sous-espace vectoriel non nul de \(\mathbb R\), il est donc égal à \(\mathbb R\) et de dimension \(1\) (ne pas oublier que \(\mathbb R\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel de dimension \(1\)).
En appliquant le théorème du rang, on en déduit que la dimension du noyau \(F\) est égale à \(3-1\) c'est-à-dire \(2\).
Alors toute famille libre de \(F\) comportant \(2\) vecteurs détermine une base de \(F\).
Par exemple \(V_1=(5,0,3)\) et \(V_2=(0,5,4)\) sont des éléments de \(F\) , n'étant pas proportionnels ils forment une famille libre. D'où \((V_1 ,V_2)\) est une base de \(F\).