Application linéaire

Notons \((p_0,p_1,p_2,p_3,p_4)\) la base canonique de \(E\) définie par :

\(\forall x\in\mathbb R, \forall k\in\mathbb N, 0\le k\le4, p_k(x)=x^k\)

Recherchons tout d'abord le noyau de \(f\).

\(\begin{array}{cc}p\in\textrm{Ker}(f)\\\Updownarrow\\p\in E\textrm{ et }f(p)=0\\\Updownarrow\\\exists(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5, p=a_0p_0+a_1p_1+a_2p_2+a_3p_3+a_4p_4\textrm{ et }f(p)=0\\\Updownarrow\\\exists(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in\mathbb R^5,\forall x\in\mathbb R,p=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4\textrm{ et }f(p)=0\end{array}\)

Alors \(p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\) et tous calculs faits,

\(q(x)=a_0+a_1+2a_2x+(-a_2+3a_3)x^2+(-2a_3+4a_4)x^3-3a_4x^4\)

\(q=(a_0+a_1)p_0+2a_2p_1+(-a_2+3a_3)p_2+(-2a_3+4a_4)p_3-3a_4p_4\)

d'où

\(q=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}a_0&+&a_1&&&&&&=0\\&&&2a_2&&&&&=0\\&&-&a_2&+&3a_3&&&=0\\&&&&-&2a_3&+&4a_4&=0\\&&&&&&-&3a_4&=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cr}a_1=&-a_0\\a_2=&0\\a_3=&0\\a_4=&0\\a_4=&0\end{array}\right.\)

On en déduit : \(p\in\textrm{Ker}(f)\Leftrightarrow\exists a_0\in\mathbb R,p(x)=a_0(1-x)\Leftrightarrow\exists\alpha(p_0-p_1)\).

Ainsi le noyau de \(f\) est le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \((p_0-p_1)\), il admet donc pour base la fonction polynôme \((p_0-p_1)\).

D'après le théorème du rang \(\dim(\textrm{Im(f)})=\dim(E)-\dim(\textrm{Ker}(f))\) donc \(\dim(\textrm{Im}(f))=4\).

De plus \(Im(f)\) est engendrée par les images des vecteurs d'une base de \(E\).

Notons, \(\forall k\in\mathbb N\), \(0\le k\le4\), \(q_k\) l'image de \(p_k\) par \(f\),

alors \(\forall x\in\mathbb R, q_0(x)=q_1(x)=1, q_2(x)=2x-x^2,q_3(x)=3x^2-2x^3,q_4(x)=4x^3-3x^4\).

Ainsi \(\{p_0,2p_1-p_2,3p_2-2p_3,4p_3-3p_4\}\) est une famille génératrice de \(\textrm{Im}(f)\), de plus elle est composée de \(4\) éléments donc \((p_0,2p_1-p_2,3p_2-2p_3,4p_3-3p_4)\) est une base de \(\textrm{Im}(f)\).