Détermination du noyau et de l'image d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 4
Partie
Question
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de dimension 4,
soient \(B=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) une base de \(E\) et \(f\) l'endomorphisme de \(E\) défini par :
\(\begin{array}{rcrcrcrcrc}f(e_1)&=&e_1&+&e_2&-&e_3&+&e_4&\\f(e_2)&=&e_1&-&e_2&+&e_3&\\f(e_3)&=&3e_1&-&e_2&+&e_3&+&e_4&\\f(e_4)&=&e_1&+&3e_2&-&3e_3&+&2e_4&\end{array}\)
Déterminer une base du noyau de \(f\).
Déterminer une base de l'image de \(f\).
Aide simple
Prendre un vecteur \(u\) quelconque de \(E\), l'écrire dans la base \(B\), calculer son image \(f(u)\), puis traduire l'égalité \(f(u)=0\).
Pour l'image de \(f\) consulter la méthodologie.
Aide méthodologique
Déterminer le noyau de \(f\) revient à chercher tous les vecteurs de \(E\) dont l'image est égale au vecteur nul de \(E\).
Pour déterminer l'image de \(f\), lorsque l'espace de départ \(E\) est de type fini, on peut utiliser le résultat suivant : " l'image de \(f\) est le sous-espace vectoriel, de l'espace d'arrivée, engendré par l'image d'une base de \(E\)".
De plus, si on connaît la dimension du noyau de \(f\), le théorème du rang permet d'obtenir la dimension de l'image de \(f\).
Aide à la lecture
L'endomorphisme \(f\) est parfaitement défini par la donnée des vecteurs \(f(e_i)\) car \((e_1,e_2,e_3,e_4)\) est une base de \(E\).
Solution détaillée
Soit \(u\) un vecteur de \(E\).
\((e_1,e_2,e_3,e_4)\) étant une base de \(E\), il existe un quadruplet unique \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) de \(\mathbf K^4\)
tel que\(u=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4\) .
L'application \(f\) étant linéaire,\(f(u)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+x_3f(e_3)+x_4f(e_4)\) . D'où,
\(\begin{array}{rcl}f(u)&=&x_1(e_1+e_2-e_3+e_4)+x_2(e_1-e_2+e_3)+x_3(3e_1-e_2+e_3+e_4)+x_4(e_1+3e_2-3e_3+2e_4)\\&=&(x_1+x_2+3x_3+x_4)e_1+(x_1-x_2-x_3+3x_4)e_2+(-x_1+x_2+x_3-3x_4)e_3+(x_1+x_3+2x_4)e_4\end{array}\)
\(u\in\textrm{Ker}f\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}x_1&+&x_2&+&3x_3&+&x_4&=&0\\x_1&-&x_2&-&x_3&+&3x_4&=&0\\-x_1&+&x_2&+&x_3&-&3x_4&=&0\\x_1&&&+&x_3&+&2x_4&=&0\end{array}\right.\)
La deuxième équation et la troisième équation du système \((S)\) obtenu sont équivalentes. D'où
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}x_1&+&x_2&+&3x_3&+&x_4&=&0&\\&-&2x_2&-&4x_3&+&2x_4&=&0&L_2\leftarrow L_2-L_1\\&-&x_2&-&2x_3&+&x_4&=&0&L_3\leftarrow L_4-L_1\end{array}\right.\)
Les deux dernières équations sont équivalentes. Donc
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\&-&x_2&-&2x_3&+&x_4&=&0\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccrcr}x_1=&-&x_3&-&2x_4\\x_2=&-&2x_3&+&x_4\end{array}\right.\)
\(\textrm{Ker}f\) est donc l'ensemble des vecteurs \(u\)
tels que \(u=(-x_3-2x_4)e_1+(-2x_3+x_4)+x_3e_3+x_4e_4\)
avec \(x_3\) et \(x_4\) appartenant à \(\mathbf K\), c'est-à-dire
tels que \(u=x_3(-e_1-2e_2+e_3)+x_4(-2e_1+e_2+e_4)\)
avec \(x_3\) et \(x_4\) appartenant à \(\mathbf K\).
\(\textrm{Ker}f\) est donc le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les vecteurs \(-e_1-2e_2+e_3\)
et \(-2e_1+e_2+e_4\).
Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants (leurs coordonnées dans la base \(B\) ne sont pas proportionnelles), ils déterminent donc une base de \(\textrm{Ker}f\).
\((e_1,e_2,e_3,e_4)\) est une base de \(E\), l'image de \(f\) est le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les vecteurs \(f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4)\).
Connaissant la dimension du noyau de \(f\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \(f\).
Ce théorème permet en effet d'écrire : \(\dim E=\dim\textrm{Ker}f+\dim\textrm{Im}f\).
On a donc \(\dim\textrm{Im}f=\dim E-\dim\textrm{Ker}f=4-2=2\).
On considère les vecteurs \(f(e_1)\) et \(f(e_2)\).
\(f(e_1)=e_1+e_2-e_3+e_4\)
\(f(e_2)=e_1-e_2+e_3\)
Ces deux vecteurs appartiennent à \(\textrm{Im}f\) et sont linéairement indépendants (leurs coordonnées dans la base \(B\) ne sont pas proportionnelles). Ils déterminent donc une base de \(\textrm{Im}f\).