Détermination du noyau et de l'image d'une application linéaire entre espaces de fonctions polynômes
Partie
Question
\(P_n\) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).
Soit \(f\) l'application linéaire de \(P_3\) dans \(P_4\) définie par :
pour tout réel \(x\), \(f(P)(x)=(2x+1)P(x)-(x^2+x-1)P'(x)\)
Déterminer le noyau de \(f\).
Déterminer une base de l'image de \(f\).
Aide simple
1. Prendre un élément \(P\) quelconque de \(P_3\) : il existe donc un quadruplet unique \((a,b,c,d)\) de \(\mathbb R^4\) tel que pour tout réel \(x\), \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Calculer \(f(P)(x)\) et traduire l'égalité \(f(P)=0\).
2. Pour la recherche de l'image de \(f\) prendre la base canonique de \(P_3\), \((e_0,e_1,e_2,e_3)\):
\(e_0 :x\mapsto 1 ; e_1 :x\mapsto x ; e_2 :x\mapsto x^2 ; e_3 : x\mapsto x^3\), et déterminer l'image par \(f\) de cette base.
Aide méthodologique
1. Déterminer le noyau de \(f\) revient à chercher tous les vecteurs de \(P_3\), c'est-à-dire toutes les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(3\), dont l'image par \(f\) est égale au vecteur nul de \(P_4\).
2. Pour déterminer l'image de \(f\), lorsque l'espace de départ \(E\) est de type fini, on peut utiliser le résultat suivant : " l'image de \(f\) est le sous-espace vectoriel, de l'espace d'arrivée, engendré par l'image d'une base de \(E\)".
De plus, si on connaît la dimension du noyau de \(f\), le théorème du rang permet d'obtenir la dimension de l'image de \(f\).
Aide à la lecture
\(P\) désigne une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \(3\), \(P'\) est donc une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\). L'image de \(P\) par \(f\), notée \(f(P)\), est une fonction polynôme. Elle est définie par :
pour tout réel \(x\), \(f(P)(x)=(2x+1)P(x)-(x^2+x-1)P'(x)\).
C'est donc une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \(4\).
L'application \(f\) est une application de \(P_3\) dans \(P_4\). Elle est linéaire : elle vérifie en effet
\(\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2, ~ \forall(P,Q)\in (P_3)^2 ~ f(\alpha P+\beta Q)=\alpha f(P)+ \beta f(Q)\)
L'exercice propose de déterminer son noyau et son image.
Solution détaillée
1. Soit \(P\) un élément de \(P_3\), c'est-à-dire une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \(3\).
Il existe donc un quadruplet unique \((a,b,c,d)\) de \(\mathbb R^4\) tels que,
pour tout réel \(x\), \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).
\(P\in\textrm{Ker}f\Leftrightarrow f(P)=0\Leftrightarrow\forall x \in\mathbb R, (2x+1)P(x)-(x^2+x-1)P'(x)=0~~(1)\)
\((1)\Leftrightarrow \forall \in \mathbb R, (2x+1)(ax^3+bx^2+cx+d)-(x^2+x-1)(3ax^2+2bx+c)=0\)
\((1)\Leftrightarrow \forall \in \mathbb R, -ax^4-2ax^3+(3a-b+c)x^2+(2b+2d)x+c+d=0\)
\((e_0,e_1,e_2,e_3,e_4)\) étant la base canonique de \(P_4\),
\((1)\Leftrightarrow -ae_4-2ae_3+(3a-b+c)e_2+(2b+2d)e_1+(c+d)e_0=0\)
\((e_0,e_1,e_2,e_3,e_4)\) est une famille libre de \(P_4\), donc
\((1)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}a=0\\3a-b+c=0\\2b+2d=0\\d+c=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}a=0\\c=b\\d=-b\end{array}\right.\)
Le noyau de \(f\) est donc l'ensemble des fonctions polynômes \(P=b(e_2+e_1-e_0)\), c'est-à-dire telles que, pour tout réel \(x\), \(P(x)=b(x^2+x-1)\), \(b\) appartenant à \(\mathbb R\).
C'est donc le sous-espace vectoriel de \(P_3\) engendré par la fonction polynôme \(Q\),
définie par \(Q(x)=x^2+x-1\).
\(\textrm{Ker}f\) est donc la droite vectorielle de base \(Q\).
2. Soit \((e_0,e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(P_3\). L'image de \(f\) est le sous-espace vectoriel de \(P_4\) engendré par les vecteurs.
Connaissant la dimension du noyau de \(f\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \(f\). Ce théorème permet en effet d'écrire :
\(\dim E=\dim\textrm{Ker}f+\dim\textrm{Im}f\)
On a donc \(\dim\textrm{Im}f=\dim E - \dim\textrm{Ker}f=4-1=3\).
\(\begin{array}{rcl}f(e_0)(x)&=&2x+1\\f(e_1)(x)&=&(2x+1)x-(x^2+x-1)=x^2+1\\f(e_2)(x)&=&(2x+1)x^2-(x^2+x-1)2x=-x^2+2x\\f(e_3)(x)&=&(2x+1)x^3-(x^2+x-1)3x^2=-x^4-2x^3+3x^2\end{array}\)
On peut remarquer que \(f(e_2)=-f(e_1)+f(e_0)\).
La famille \(\{f(e_0),f(e_1),f(e_3)\}\) est donc encore une famille génératrice de \(\textrm{Im}f\). Elle contient trois vecteurs et la dimension de \(\textrm{Im}f\) est égale à trois. Elle détermine donc une base de \(\textrm{Im}f\).