Problèmes de synthèse

L'égalité \(\textrm{Id}_E=u-v\) entraîne l'égalité \(u=\textrm{Id}_E+v\).

En composant cette dernière égalité à droite puis à gauche par \(v\) (pour faire intervenir \(u\circ v\) et \(v\circ u\)), on obtient :

\(u\circ v=(\textrm{Id}_E+v)\circ v=v+v^2\) et \(v\circ u=v\circ (\textrm{Id}_E+v)=v+v^2\),

d'où \(v\circ u=u\circ v\), donc \(v\circ u=0\).

On montre d'abord que \(\textrm{Ker}(u)\cap\textrm{Ker}(v)=\{0\}\):

soit \(x\) un vecteur de \(E\) appartenant à \(\textrm{Ker}(u)\cap\textrm{Ker}(v)\), donc on a à la fois \(u(x)=0\) et \(v(x)=0\).

Or \(\textrm{Id}_E=u-v\), donc \(\textrm{Id}_E(x)=u(x)-v(x)=0\), c'est-à-dire \(x=0\).

On montre que \(E=\textrm{Ker}(u)+\textrm{Ker}(v)\):

soit \(x\) un vecteur de \(E\).

En se servant de \(\textrm{Id}_E=u-v\), on obtient \(x=u(x)-v(x)=u(x)+v(-x)\),

or \(u(x)\) appartient à \(\textrm{Ker}(v)\): en effet \(v\circ u=0\) donc \(v(u(x))=0\).

De même \(v(-x)\) appartient à \(\textrm{Ker}(u)\) (puisque \(u\circ v=0\) donc \(u(v(-x))=0\)). Donc \(x\) est bien la somme de l'élément \(v(-x)\) appartenant à \(\textrm{Ker}(u)\) et de l'élément \(u(x)\) appartenant à \(\textrm{Ker}(v)\).

On a bien \(E=\textrm{Ker}(u)\oplus\textrm{Ker}(v)\).

On remarque que \((f-\alpha\textrm{Id}_E)-(f-\beta\textrm{Id}_E)=(\beta-\alpha)\textrm{Id}_E\).

Puisque \(\alpha\neq\beta\), on pose et \(u=\frac{1}{\beta-\alpha}(f-\alpha\textrm{Id}_E)\) et \(v=\frac{1}{\beta-\alpha}(f-\beta\textrm{Id}_E)\),

alors \(u\) et \(v\) sont des endomorphismes non nuls de \(E\)(car \(f\neq\alpha\textrm{Id}_E\) et \(f\neq\beta\textrm{Id}_E\))

et ils vérifient à la fois et \(\textrm{Id}_E=u-v\) et \(u\circ v=0\).

Donc, d'après les partie \(1.\) et \(2.\), on a \(E=Ker(u)\oplus\textrm{Ker}(v)\).

Il suffit ensuite de remarquer que \(\textrm{Ker}(u)=\textrm{Ker}(f-\alpha\textrm{Id}_E)\) car

\(\frac{1}{\beta-\alpha}(f-\alpha\textrm{Id}_E)(x)=0 \Leftrightarrow (f-\alpha\textrm{Id}_E)(x)=0\)

et de même \(\textrm{Ker}(v)=\textrm{Ker}(f-\beta\textrm{Id}_E)\).

Donc on a \(E=\textrm{Ker}(f-\alpha\textrm{Id}_E) \oplus \textrm{Ker}(f-\beta\textrm{Id}_E)\).

Les sous-espaces \(\textrm{Ker}(f-\alpha\textrm{Id}_E)\) et \(\textrm{Ker}(f-\beta\textrm{Id}_E)\)sont bien supplémentaires.

On constate, après calculs utilisant la distributivité de la loi \(\circ\), et le fait que \(\textrm{Id}_E\) est l'élément neutre pour cette loi, que \((f-\alpha\textrm{Id}_E)\circ (f-\beta\textrm{Id}_E)=f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\textrm{Id}_E\).

Donc on a ici : \(f^2-4f+3\textrm{Id}_E=(f-\textrm{Id}_E)\circ (f-3\textrm{Id}_E)=0\).

Plusieurs cas sont possibles :

• soit \(f-\textrm{Id}_E=0\), c'est-à-dire \(f=\textrm{Id}_E\), alors toute base \((v_1,v_2,..., v_n)\) de \(E\) vérifie, pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(n\), \(f(v_k)=v_k\)

• soit \(f-3\textrm{Id}_E=0\), c'est à dire \(f=3\textrm{Id}_E\), alors toute base \((v_1,v_2,..., v_n)\) de \(E\) vérifie, pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(n\), \(f(v_k)=3v_k\)

• soit \(f\neq\textrm{Id}_E\) et \(f\neq3\textrm{Id}_E\): on est alors dans la situation des parties \(3.\) et \(4.\), avec \(\alpha=1\) et \(\beta=3\).

  Soit \(p\) la dimension de \(\textrm{Ker}(f-\textrm{Id}_E)\);

  il existe une base \((v_1,v_2,...,v_n)\) de \(E\) et des scalaires \(\lambda_1,\lambda_2,..., \lambda_n\) tels que \(\lambda_1=\lambda_2=...= \lambda_p=1\)

  et\(\lambda_{p+1}=\lambda_{p+2}=...=\lambda_n=3\) tels que pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(n\) on ait : \(f(v_k)=\lambda_k v_k\).

Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^2\) défini par \(f((x,y))=(2x+y,x+2y)\).

On calcule \(f^2((x,y))\).

On obtient : \(f^2((x,y))=f(2x+y,x+2y)=(5x+4y,4x+5y)=4f((x,y))-3(x,y)\).

D'où \(f^2-4f+3\textrm{Id}_E=0\). On se trouve dans la situation de la question \(5.\).

On cherche une base répondant aux critères de la question \(5.\) :

On détermine \(\textrm{Ker}(f-\textrm{Id}_E)\):

\((x,y)\in \textrm{Ker}(f-\textrm{Id}_E)\Leftrightarrow f((x,y))-(x,y)=(0,0) \Leftrightarrow (x+y,x+y)=(0,0)\)

Donc \(\textrm{Ker}(f-\textrm{Id}_E)=\{u\in\mathbb R^2,\exists x\in\mathbb R, u=(x,-x)\}\).

Le sous-espace \(\textrm{Ker}(f-\textrm{Id}_E)\) est de dimension \(1\)

et une base de \(\textrm{Ker}(f-\textrm{Id}_E)\) est \((v_1)\) avec \(v_1=(1,-1)\).

On détermine \(\textrm{Ker}(f-3\textrm{Id}_E)\):

\((x,y)\in \textrm{Ker}(f-3\textrm{Id}_E)\Leftrightarrow f((x,y))-3(x,y)=(0,0) \Leftrightarrow (-x+y,-x+y)=(0,0)\)

Donc \(\textrm{Ker}(f-3\textrm{Id}_E)=\{u\in\mathbb R^2,\exists x\in\mathbb R, u=(x,x)\}\).

Le sous-espace \(\textrm{Ker}(f-3\textrm{Id}_E)\) est de dimension \(1\)

et une base de \(\textrm{Ker}(f-3\textrm{Id}_E)\) est \((v_2)\) avec \(v_2=(1,1)\).

L'espace vectoriel \(\mathbb R^2\) admet donc la base \((v_1,v_2)\) vérifiant \(f(v_1)=v_1\) et \(f(v_2)=3v_2\).

La méthode pour calculer l'image de \((1,3)\) par \(f^{100}\) est d'écrire \((1,3)\) comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base \((v_1,v_2)\) trouvée précédemment, et de se servir des images de ces vecteurs.

En effet, comme \(f(v_1)=v_1\) et \(f(v_2)=3v_2\), on montre aisément par récurrence que, pour tout entier naturel \(k\), \(f^k(v_1)=v_1\) et \(f^k(v_2)=3^k v_2\).

Ceci entraîne que, pour tout vecteur \(v\), \(v=a v_1+b v_2\), on a \(f^k(v)=av_1+b.3^kv_2\).

On détermine les coordonnées de \((1,3)\) dans la base \((v_1,v_2)\):

\((1,3)=av_1+bv_2\Leftrightarrow (1,3)=a(1,-1)+b(1,1)\Leftrightarrow(1,3)=(a+b,-a+b)\)

On trouve, après résolution d'un système, et \(a=-1\) et \(b=2\).

Donc \(f^{100}((1,3))=f^{100}(-v_1+2v_2)=-f^{100}(v_1)+2f^{100}(v_2)\), car \(f^{100}\) est linéaire.

D'où \(f^{100}((1,3))=-v_1+2.3^{100}v_2=-(1,-1)+2.3^{100}(1,1)\).

D'où le résultat : \(f^{100}((1,3))=(2.3^{100}-1, 2.3^{100}+1)\).