Structure de l'ensemble des formes bilinéaires, de celui des formes bilinéaires symétriques et de celui des formes bilinéaires antisymétriques
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}-\textrm{espace}\) vectoriel. On note \(B(E)\) l'ensemble des formes bilinéaires sur \(E,\) \(S_{2}(E)\) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur \(E\) et \(A_{2}(E)\) l'ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur \(E.\) On a alors le théorème de structure suivant :
Théorème : Structure vectorielle de B(E), S2(E) , et A2(E)
L'ensemble \(B(E)\) a une structure d'espace vectoriel pour les opérations suivantes :
\(\begin{array}{ccccc}&&E\times E &\to & \mathbb{K}\\f_{1} + f_{2} &:& (x,y)&\mapsto & f_{1}(x,y) + f_{2}(x,y)\\\lambda f &:& (x,y)&\mapsto &\lambda f(x,y)\end{array}\)
Les ensembles \(S_{2}(E)\) et \(A_{2}(E)\) sont des sous-espaces vectoriels de \(B(E).\)
Les sous-espaces vectoriels \(S_{2}(E)\) et \(A_{2}(E)\) sont supplémentaires c'est-à-dire : \(B(E) = S_{2}(E) \oplus A_{2}(E)\)
Preuve :
Les propriétés 1) et 2) sont immédiates à démontrer.
Démonstration de la propriété 3)
Soit \(f\) une forme bilinéaire quelconque. Supposons qu'il existe une forme bilinéaire symétrique \(\varphi\) et une forme bilinéaire antisymétrique \(\psi\) telles que \(f = \varphi + \psi ;\) cela signifie:
\((*) \quad \forall (x,y) \in E \times E ,\quad f(x,y) = \varphi(x,y) + \psi(x,y),\)
d'où \(\forall(x,y) \in E \times E \quad f(y,x) = \varphi(y,x) + \psi(y,x)\)
et donc \((**) \quad \forall (x,y) \in E \times E \quad f(y,x) = \varphi(x,y) - \psi(x,y)\)
Alors, à partir des relations \((*)\) et \((**)\) il vient :
\(\forall (x,y) \in E \times E \quad \frac{1}{2} \big(f(x,y) + f(y,x) \big) = \varphi(x,y)\)
\(\forall (x,y) \in E \times E \quad \frac{1}{2} \big(f(x,y) - f(y,x) \big) = \psi(x,y)\)
Cela prouve l'unicité de l'écriture d'une forme bilinéaire comme somme d'un élément de \(S_{2}(E)\) et de \(A_{2}(E)\) si une telle écriture existe.
Pour montrer l'existence d'une telle décomposition, il suffit de vérifier que les applications
\(\begin{array}{ccccc}\varphi &:&E\times E &\to & \mathbb{K}\\ \\&& (x,y)&\mapsto & \frac{1}{2} \big(f(x,y) + f(y,x)\big)\\ \\&&& \textrm{et}&\\ \\\psi &:&E\times E &\to & \mathbb{K}\\ \\&& (x,y)&\mapsto & \frac{1}{2} \big(f(x,y) - f(y,x)\big)\end{array}\)
conviennent autrement dit que \(\varphi\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(E,\) que \(\psi\) est une forme bilinéaire antisymétrique sur \(E\) et que \(f = \varphi + \psi.\)
Toutes ces vérifications sont immédiates, d'où le résultat.
Remarque :
bien observer qu'aucune hypothèse concernant la dimension de \(E\) n'est nécessaire pour démontrer cette propriété.
Exemple :
Reprenons l'exemple déjà étudié avec \(E = \mathbb{R}^{2}\) et \(f\) la forme bilinéaire sur \(\mathbb{R}^{2}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2})\) et \(y = (y_{1},y_{2})\) de \(\mathbb{R}^{2}\) par : \(f(x,y) = x_{1} y_{1} - 2 x_{2}y_{1} + 2x_{1} y_{2} - x_{2}y_{2}\)
Alors en utilisant les résultats précédents il vient \(f = \varphi + \psi\) avec
\(\begin{array}{ccccc}\varphi &:&\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2} &\to & \mathbb{R}\\ \\&& \big((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\big )&\mapsto & x_{1}y_{1} - x_{2}y_{2}\\ \\&&& \textrm{et}&\\ \\\psi &:&\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2} &\to & \mathbb{R}\\ \\&& \big((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\big) &\mapsto & -2x_{2}y_{1} + 2x_{1}y_{2}\end{array}\)