Matrice symétrique associée à une forme quadratique par rapport à la base canonique
Soit \(q\) une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}.\) Il existe donc \(n^{2}\) éléments de \(\mathbb{R}\), \(b_{i,j}\) tels que
\(\forall (x_{1},x_{2}, . . .,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} , ~q(x_{1} , x_{2} , . . . , x_{n}) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}}b_{i,j}x_{i}x_{j}\)
On peut réordonner les termes de cette expression en mettant en évidence les termes « carrés » c'est-à-dire de la forme \(x_{i}^{2}\) et les termes « rectangles » c'est-à-dire de la forme \(x_{i}x_{j}\) avec \(i \ne j\) . Le coefficient du terme \(x_{i}^{2}\) est \(b_{i,i}\); celui du terme \(x_{i}x_{j}\) est \(b_{i,j}\), et celui de \(x_{j}x_{i}\) est \(b_{j,i}\). Bien évidemment ces deux derniers termes peuvent être regroupés ce qui permet d'écrire :
\(\forall x \in \mathbb{R}^{n} , ~ q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}b_{i,i}x_{i}^{2} }+ \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} (b_{i,j} + b_{j,i}) x_{i}x_{j}\)
On introduit les scalaires \(a_{i,j}\) définis pour tout couple \((i,j)\) appartenant à \(\{1,2,. . . ,n\} \times \{1,2,...,n\}\) par : \(a_{i,j} = \frac{1}{2} (b_{i,j} + b_{j,i}).\)
Ils vérifient en particulier les relations :
\(\forall i \in \{1,2,...,n\}, ~a_{i,i} = b_{i,i}\)
\(\forall (i,j) \in \{1,2,...,n\}^{2}, ~a_{i,j} = a_{j,i}\)
Alors : \(\forall x \in \mathbb{R}^{n}, ~q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,i}x_{i}^{2} }+ 2 \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} a_{i,j} x_{i}x_{j}\)
Sur l'exemple \(q(x) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}\) on a
\(a_{1,1} = 1, a_{2,2} = 2, a_{3,3} = 3, a_{1,3} =a_{3,1} = 1, a_{1,2} = a_{2,1} = a_{2,3} = a_{3,2} = 0.\)
Dans toute la suite c'est cette expression d'une forme quadratique qui sera utilisée, à cause de la symétrie des coefficients c'est-à-dire de la propriété :
\(\forall (i,j) \in \{1,2,...,n\}^{2}, ~a_{i,j} = a_{j,i}.\)
Il résulte de tout ce qui précède qu'une forme quadratique est entièrement caractérisée par les coefficients \(a_{i,j}\), et donc par la matrice carrée d'ordre \(n\) dont le terme général est \(a_{i,j}.\) On peut donc énoncer la définition suivante :
Théorème : Théorème-Définition : Matrice symétrique associée à une forme quadratique par rapport à une base
Soit \(q\) une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},...,x_{n})\) de \(\mathbb{R}^{n}\) par :
\(q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,i}x_{i}^{2} }+ 2 \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} a_{i,j} x_{i}x_{j},\)
On définit pour les couples \((i,j)\) tels que \(i>j\), les scalaires \(a_{i,j}\) par : \(a_{i,j} = a_{j,i}\)
Alors la matrice \(A\) de terme général \(a_{i,j}\) est une matrice symétrique, c'est-à-dire : \(A = ~^{t}A\)
On dit que c'est la matrice associée à \(q\) par rapport à la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\).
L'introduction ici de la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\) est due au double rôle tenu par les réels \(x_{i}\) pour un \(n-\textrm{uplet}\) \(x = (x_{1},x_{2},...,x_{n}).\)
D'une part ce sont les composantes de \(x,\) et d'autre part ce sont les coordonnées de \(x\) dans la base canonique \((e_{1},e_{2},...,e_{n})\) puisque :
\(x = (x_{1}, x_{2},. . . ,x_{n}) = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n}\)
Exemple :
Reprenons l'exemple précédent. Soit \(q\) la forme quadratique définie pour tout
\(x = (x_{1},x_{2},x_{3})\) de \(\mathbb{R}^{3}\) par \(q(x) = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}.\)
Ci-après une version animée de cette étape
La matrice qui lui est associée dans la base canonique est \(\displaystyle{ A = \left(\begin{array}{c c c}1 & 0 & 1\\0 & 2 & 0\\1 & 0 & 3\end{array}\right)}.\)