Ecriture matricielle d'une forme quadratique
Soit \(B_{\textrm{R}^{n}} = (e_{1},e_{2},...,e_{n})\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}.\) Soit \(x = (x_{1},x_{2},...,x_{n})\) un élément de \(\mathbb{R}^{n}\) qui peut être écrit sur la base \(B_{\textrm{R}^{n}}\): \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n}\)
Soit \(q\) la forme quadratique définie par :
\(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n} \mapsto q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,i}x_{i}^{2} }+ 2 \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} a_{i,j} x_{i}x_{j}\)
Comme précédemment, on définit les scalaires \(a_{i,j}\) pour les couples \((i,j)\) tels que \(i >j\), par : \(a_{i,j} = a_{j,i}\)
Alors, \(q(x)\) peut être écrit sous la forme : \(q(x) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}} a_{i,j} x_{i}x_{j}\)
Soit \(A\) la matrice de \(M_{n}(\mathbb{R})\) de terme général \(a_{i,j}.\) C'est la matrice associée à \(q\) dans la base canonique.
Soit \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n}\) et \(X = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x_{1} \\ \vdots \\ \\ x_{n}\end{array}\right)}.\)
Alors, il vient : \(q(x) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}} a_{i,j} x_{i}x_{j} = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}} x_{i} \bigg(\displaystyle {\sum_{j=1}^{j=n}}a_{i,j}x_{j}\bigg).\)
En notant \(c_{i} = \displaystyle {\sum_{j=1}^{j=n}} b_{i,j}x_{j}\), cela donne \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}} a_{i,j} x_{i}x_{j} = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}} x_{i} c_{i} = (x_{1}. . . x_{n}) \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} c_{1} \\ \vdots \\ \\ c_{n}\end{array}\right)}.\)
La matrice ligne \((x_{1}...x_{n})\) est égale à \(~^{t}X.\)
Le scalaire \(c_{i} = \displaystyle {\sum_{j=1}^{j=n}}a_{i,j}x_{j}\) peut être interprété comme le produit \((a_{i,1} . . . a_{i,n}) \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x_{1} \\ \vdots \\ \\ x_{n}\end{array}\right)}.\) Donc on a : \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} c_{1} \\ \vdots \\ \\ c_{n}\end{array}\right)} = A \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x_{1} \\ \vdots \\ \\ x_{n}\end{array}\right)}\) et au bilan \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}} a_{i,j} x_{i}x_{j} = ~^{t}XAX\) (bien sûr avec la convention d'identifier un matrice \(1 \times 1\) à un scalaire).
D'où la proposition :
Proposition : Ecriture matricielle de q(x) où q est une forme quadratique
Soit \(q\) la forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) définie par :
\(x \mapsto q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}} a_{i,i} x_{i}^{2} + 2 \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} a_{i,j} x_{i}x_{j}.\)
Si \(A\) est la matrice de \(M_{n}(\mathbb{K})\) de terme général \(a_{i,j}\), où les scalaires \(a_{i,j}\) pour les couples \((i,j)\) tels que \(i>j\), et \(X\) la matrice colonne \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x_{1} \\ \vdots \\ \\ x_{n}\end{array}\right)},\) alors \(q(x) = ~^{t}XAX.\)