Expression sur une base
Soit \(B=(e_1,e_2,...,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb R^n\).
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb R^n\), \(x\) et \(y\) deux éléments de \(\mathbb R^n\). On peut écrire \(x=(x_1,x_2,...,x_n)=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\) et \(y=(y_1,y_2,...,y_n)=y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n\).
Alors :
\(f(x,y)=f(x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n,y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n)\)
et donc :
\(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}{1\le i \le n}\\{1\le j \le n}\end{array}}x_iy_j f(e_i,e_j)}\)
Pour aider à comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce calcul pour \(n=3\).
Exemple : Calcul dans le cas de n=3
Soit \(B=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de base de \(\mathbb R^3\).
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb R^3\).
Soient \(x\) et \(y\) deux éléments de \(E\); ils peuvent être écrit de manière unique sous la forme \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) et \(y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\).
Alors :
\(f(x,y)=f(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3,y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3)\)
La linéarité par rapport à la première variable donne
\(\begin{array}{lll}f(x,y)&=&x_1f(e_1,y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3)+x_2f(e_1,y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3)\\&+&x_3f(e_1,y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3)\end{array}\)
En utilisant, pour chaque terme de la somme qui est au second membre, la linéarité par rapport à la seconde variable on obtient
\(\begin{array}{lll}f(x,y)&=&x_1y_1f(e_1,e_1)+x_1y_2f(e_1,e_2)+x_1y_3f(e_1,e_3) \\ &+& x_2y_1f(e_2,e_1)+x_2y_2f(e_2,e_2)+x_2y_3f(e_2,e_3) \\ &+& x_3y_1f(e_3,e_1)+x_3y_2f(e_3,e_2)+x_3y_3f(e_3,e_3)\end{array}\)
Ci-après une version animée de ces transformations
La forme bilinéaire symétrique \(f\) est donc entièrement définie par les \(n^2\) scalaires \(f(e_i,e_j),1\le i \le n, 1\le j \le n\). Comme \(f\) est symétrique, il est immédiat que :
\(\forall (i,j),1\le i \le n, 1\le j \le n,f(e_i,e_j)=f(e_j,e_i)\)
Réciproquement il est facile de vérifier que toute application \(\mathbb R^n \times \mathbb R^n\) de dans \(\mathbb R\) de la forme \(\displaystyle{(x,y)\mapsto \sum_{\begin{array}{l}1\le i \le n \\ 1\le j\le n\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\) est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).
Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :
Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur Rn
Une application de \(\mathbb R^n \times \mathbb R^n\) dans \(\mathbb R\) est une forme bilinéaire sur \(\mathbb R^n\) si et seulement si il existe des scalaires \(a_{i,j}, 1\le i \le n, 1\le j\le n,\) tels que pour tout \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) et \(y=(y_1,y_2,...,y_n)\) \(f(x,y)\) s'écrive de la manière suivante :
\(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}1\le i \le n \\ 1\le j\le n\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\)