Formes quadratiques et expressions polynomiales [Généralités sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques]

Formes quadratiques et expressions polynomiales

Durée : 8 mn

Note maximale : 10

Question

Déterminer si les applications $q_{i}~(1\le i\le3)$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ suivantes sont des formes quadratiques :

$\forall u = (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, q_{1}(u) = -x^{2}$
$\forall u = (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, q_{2}(u) = x^{2} + y^{2}$
$\forall u = (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, \displaystyle{ q_{3}(u) = \left\{\begin{array}{l l} -x^2 & \textrm{si } y= 0 \\ x^{2} + y^{2}& \textrm{si } y \ne 0 \end{array}\right.}$

Solution

Une application $q$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ est une forme quadratique sur $\mathbb{R}^{2}$ si, pour tout vecteur $u = (x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ , $q(u)$ est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées $x$ et $y$ de $u$ .

1. et 2. [3 points] Il est immédiat que $q_{1}$ et $q_{2}$ sont des formes quadratiques.

3. [7 points] On montre que $q_{3}$ n'est pas une forme quadratique par une démonstration par l'absurde.

En effet, supposons que $q_{3}$ soit une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées d'un vecteur de $\mathbb{R}^{2}$ ; alors il existerait des réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :

$\forall u = (x,y) \in \mathbb{R}^{2},$ $q_{3}(u) = a x^{2} + b y^{2} + c x y.$

Or les images des quatre vecteurs $u_{1} = (1,0),$ $u_{2} = (0,1),$ $u_{3} = (1,1)$ et $u_{4} = (1,2)$ de $\mathbb{R}^{2}$ sont : $q_{3}(u_{1}) = -1,$ $q_{3}(u_{2}) = 1,$ $q_{3}(u_{3}) = 2$ et $q_{3}(u_{4}) = 5.$

En utilisant l'expression $\forall u = (x,y) \in \mathbb{R}^{2},$ $q_{3}(u) = ax^{2} + by^{2} + cxy$ , on obtient : $q_{3}(u_{1}) = a$ , $q_{3}(u_{2}) = b$ , $q_{3}(u_{3}) = a + b + c$ , $q_{3}(u_{4}) = a + 4b + 2c$ ,

d'où le système à résoudre :

$\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{l l } a = -1 \\ b = 1 \\ a+b+c = 2 \\ a + 4b +2c = 5 \end{array}\right.&\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{l l } a = -1 \\ b = 1 \\ c = 2 \\ a + 4b +2c = 5 \end{array}\right.\end{array}$

Ce système n'a pas de solution car $(-1) +4 \times 1 + 2 \times 2 = 7.$

Donc l'application $q_{3}$ n'est pas une forme quadratique.

Remarque :

pour tout scalaire $\lambda$ de $\mathbb{R}$ et tout vecteur $w$ de $\mathbb{R}^{2}$ on a quand même l'égalité $q_{3}(\lambda w) = \lambda^{2}q_{3}(w).$ La condition $q(\lambda u) = \lambda^{2} q(u)$ est une condition nécessaire pour qu'une application $q$ de $E$ dans $\mathbb{K}$ soit une forme quadratique mais ce n'est pas une condition suffisante.