Composée d'une forme quadratique et d'un endomorphisme
Durée : 12 mn
Note maximale : 10
Question
Soient \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{K}, \mathbb{K = R}\) ou \(\mathbb{K = C}\), \(\varphi\) un endomorphisme de \(E\), et \(q\) une forme quadratique sur \(E\).
Montrer que l'application \(q\circ\varphi\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme quadratique sur \(E\).
On suppose de plus que \(E\) est de dimension finie. Soit \(B\) une base de \(E\).
Déterminer la matrice associée à \(q\circ\varphi\) dans la base \(B\) en fonction de la matrice associée à \(q\) et de celle associée à \(\varphi\) dans \(B\).
Solution
[6 points] Si on note par \(f\) la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique \(q,\) on obtient pour tout vecteur \(u\) de \(E\) l'identité suivante : \((q\circ\varphi)(u) = q\big(\varphi(u)\big) = f\big(\varphi(u),\varphi(u)\big).\)
Pour montrer que \(q\circ\varphi\) est une forme quadratique sur \(E\), il y a deux méthodes possibles :
première méthode : déterminer une forme bilinéaire symétrique \(g\) telle que \(\big(q\circ\varphi\big)(u) = g\big(u,u\big),\)
deuxième méthode : utiliser la caractérisation des formes quadratiques.
Méthode :
Première méthode
On veut \(g(u,u) = f\big(\varphi(u),\varphi(u)\big),\) on essaie l'application \(g\) définie par :
\(\begin{array}{lll} g : &E \times E& \to \mathbb{K} \\& (u,v)& \mapsto g(u,v) = f\big(\varphi(u),\varphi(v)\big) \end{array}\)
On remarque que l'application \(g\) est symétrique, car pour tout \(u\) et tout \(v\) de \(E,\) \(g(u,v) = g(v,u),\) puisque \(f\) est symétrique ; et l'application \(g\) est linéaire par rapport à la première variable : en effet pour tout vecteur fixé \(v\) de \(E,\) soit \(g_{v}\) l'application :
\(\begin{array}{lll} g_{v} : &E&\to\mathbb{K} \\ &u& \mapsto g_{v}(u) = g(u,v) = f\big(\varphi(u),\varphi(v)\big).\end{array}\)
Pour tous scalaires \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) de \(\mathbb{K}\) et tous vecteurs \(u_{1}\) et \(u_{2}\) de \(E,\) on a \(g_{v}\big(\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2}\big) = f \big(\varphi(\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2}),\varphi(v)\big).\)
Comme \(\varphi\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E,\) il vient
\(g_{v}(\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2}) = f\big(\lambda_{1}\varphi(u_{1}) + \lambda_{2}\varphi(u_{2}),\varphi(v)\big).\)
Et comme \(f\) est bilinéaire, donc linéaire par rapport à la première variable, on obtient :
\(\begin{array}{lll} g_{v}\big(\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2}\big) &=& \lambda_{1}f\big(\varphi(u_{1}),\varphi(v)\big) + \lambda_{2}f\big(\varphi(u_{2}),\varphi(v)\big) \\ &=&\lambda_{1}g_{v}(u_{1}) + \lambda_{2}g_{v}(u_{2})\end{array}\)
Donc pour tout vecteur \(v\) de \(E,\) \(g_{v}\) est linéaire.
Comme \(g\) est symétrique, on en déduit que pour tout vecteur \(u\) de \(E\) l'application \(G_{u}\) de \(E\) dans \(\mathbb{K},\) définie par \(G_{u}(v) = g(u,v)\) est aussi linéaire, donc \(g\) est bilinéaire.
Méthode :
Deuxième méthode
Pour montrer que \(q\circ\varphi\) est une forme quadratique, on montre que les deux propriétés qui caractérisent les formes quadratiques sont vérifiées :
pour tout \(u\) de \(E\) et tout \(\lambda\) de \(\mathbb{K},\) \(\big(q\circ\varphi\big)\big(\lambda u\big) = \lambda^{2}\big(q\circ\varphi\big)\big(u\big),\)
l'application \(h,\) définie pour tout \((u,v)\) de \(E \times E\) par
\(h(u,v) = \frac{1}{2}\big[\big(q\circ\varphi\big)(u + v) - \big(q\circ\varphi\big)(u) - \big(q\circ\varphi\big)(v)\big],\)est bilinéaire symétrique.
Or, comme \(\varphi\) est linéaire et comme \(q\) est une forme quadratique, on a bien :
\(\begin{array}{lll} \big(q\circ\varphi\big)\big(\lambda u\big) &=& q\big[\varphi\big(\lambda u\big)\big] \\ &=& q\big[\lambda\varphi\big(u\big)\big] \\ &=& \lambda^{2}\big(q\circ\varphi\big)\big(u\big).\end{array}\)
et l'application \(h\) vérifie :
\(\begin{array}{lll} h\big(u,v\big) &=& \frac{1}{2}\big[\big(q\circ\varphi\big)(u + v) - \big(q\circ\varphi\big)(u) - \big(q\circ\varphi\big)(v)\big] \\ &=& \frac{1}{2} \big[f\big(\varphi(u+v), \varphi(u +v)\big) -f\big(\varphi(u),\varphi(u)\big) - f\big(\varphi(v), \varphi(v)\big)\big] \\ &=&\frac{1}{2}\big[f\big(\varphi(u) + \varphi(v),\varphi(u) + \varphi(v)\big) - f\big(\varphi(u),\varphi(u)\big) - f\big(\varphi(v),\varphi(v)\big)\big] \\ &=& \frac{1}{2} \big[f\big(\varphi(u),\varphi(v)\big) + f\big(\varphi(v),\varphi(u)\big)\big] \\ &=& f\big(\varphi(u),\varphi(v)\big).\end{array}\)
On remarque que l'application \(h\) est l'application \(g\) proposée précédemment et on démontre la symétrie et la bilinéarité de \(h\) (comme cela a été fait pour \(g\)).
Donc \(h\) est une forme bilinéaire symétrique.
Remarque : on peut remarquer que la deuxième méthode peut s'appliquer de façon mécanique pour déterminer si une application donnée est une forme quadratique.
Donc l'application \(q \circ \varphi\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme quadratique sur \(E.\)
2. [4 points] On suppose \(E\) de dimension finie et on cherche la matrice de \(q \circ\varphi\) dans une base \(B\) de \(E.\)
On note \(A_{q}\) la matrice de la forme quadratique \(q\) dans la base \(B,\) \(A_{q\circ\varphi}\) la matrice de \(q\circ\varphi\) dans la base \(B\) et \(A_{\varphi}\) la matrice de l'endomorphisme \(\varphi\) de \(E\) dans la même base \(B.\)
Comme dans le 1), on note \(f\) la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\), et \(g\) la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\circ\varphi\).
Donc la matrice \(A_{q}\) est aussi la matrice de \(f\) dans la base \(B,\) et \(A_{q\circ\varphi}\) est la matrice de \(g\) dans cette base.
Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs de \(E,\) \(X\) la matrice colonne dont les coefficients sont les coordonnées de \(u\) dans la base \(B,\) et \(Y\) la matrice colonne dont les coefficients sont les coordonnées de \(v\) dans la base \(B.\)
Alors les vecteurs \(\varphi(u)\) et \(\varphi(v)\) ont pour coordonnées respectives les coefficients de la matrice \(A_{\varphi}X\) et ceux de la matrice \(A_{\varphi}Y.\)
D'où \(g(u,v) = f\big(\varphi(u),\varphi(v)\big) = ~^{t}\big(A_{\varphi}X\big)A_{q}\big(A_{\varphi}Y\big).\)
Or \(~^{t}\big(A_{\varphi}X\big) =~^{t}X~^{t}A_{\varphi}.\)
Par conséquent \(g(u,v) = f\big(\varphi(u),\varphi(v)\big) = ~^{t}X\big(~^{t}A_{\varphi}A_{q}A_{\varphi}\big)Y.\)
On a aussi \(g(u,v) = ~^{t}X~A_{q\circ\varphi}Y\)
Ces égalités étant vraies pour tous vecteur \(u\) et \(v\) de \(E,\) on en déduit la relation suivante entre les matrices \(A_{q\circ\varphi},\) \(A_{q}\) et \(A_{\varphi}\) : \(\qquad\) \(A_{q\circ\varphi} =~^{t}A_{\varphi}A_{q}A_{\varphi}\)