Composée d'une forme quadratique et d'un endomorphisme

Durée : 12 mn

Note maximale : 10

Question

Soient \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{K}, \mathbb{K = R}\) ou \(\mathbb{K = C}\), \(\varphi\) un endomorphisme de \(E\), et \(q\) une forme quadratique sur \(E\).

  1. Montrer que l'application \(q\circ\varphi\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme quadratique sur \(E\).

  2. On suppose de plus que \(E\) est de dimension finie. Soit \(B\) une base de \(E\).

    Déterminer la matrice associée à \(q\circ\varphi\) dans la base \(B\) en fonction de la matrice associée à \(q\) et de celle associée à \(\varphi\) dans \(B\).