Orthogonalité

Lorsqu'on munit \(\mathbf R^3\) du produit scalaire usuel défini pour tous les vecteurs \(x=(x_1,x_2,x_3\) et \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(\mathbf R^3\) par \(f(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\), on dit que les vecteurs \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique particulière.

L'objet de cette ressource est la généralisation à toutes les formes bilinéaires symétriques de la notion d'orthogonalité ainsi que des concepts qui s'y réfèrent.

Dans toute cette ressource le corps de base \(\mathbf K\) des espaces vectoriels considérés est soit le corps des nombres réels soit le corps des nombres complexes.

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f'\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(q\) la forme quadratique associée à \(f\) et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\).

• Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(E\) tels que sont dits orthogonaux relativement à \(f\) (ou orthogonaux pour \(f\), ou orthogonaux relativement à \(q\), ou orthogonaux pour \(q\), ou \(f\)-orthogonaux, ou \(q\)-orthogonaux).

• Soit \(A\) une partie non vide de \(E\). L'ensemble des vecteurs de \(E\) qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de \(A\) pour \(f\) est appelé l'orthogonal de \(A\) pour \(f\) et est noté \(A^\perp\): .

• Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(E\): \(A\subset B=B^\perp\subset A^\perp\).

• Si \(A\) est non vide, est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  L'orthogonal de \(A\) est égal à l'orthogonal du sous-espace vectoriel engendré par \(A\) : \(A^\perp=(Vect(A))^\perp\).

• L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel \(F\) engendré par une famille finie de vecteurs de \(E\) est égal à l'orthogonal de cette famille.

  \(F=Vect(\{u_1,u_2,...,u_p\})\Rightarrow F^\perp=\{u_1,u_2,...,u_p\}^\perp\).

• On appelle noyau de \(f\) (ou de \(q\)) l'orthogonal relativement à \(f\) de l'espace vectoriel \(E\): \(E^\perp = \{x\in E/\forall y\in E,f(x,y)=0\}\).

• La forme bilinéaire symétrique \(f\) (ou la forme quadratique \(q\)) est dite non dégénérée si le noyau de \(f\) (ou de \(q\)) est réduit au vecteur nul : \(E^\perp=\{0_E\}\).

• Si \(E\) est de type fini, \(M\) la matrice associée à \(f\) dans une base \(B\) et \(X\) le vecteur colonne dont les éléments sont les coordonnées dans \(B\) du vecteur \(x\) de \(E\), alors \(E^\perp = \{x\in E/MX=0\}\).

  La forme bilinéaire symétrique \(f\) est non dégénérée si et seulement si \(\det M\neq 0\).

• Si \(E\) est de type fini, \(\dim E=\dim F+\dim F^\perp-dim(E^\perp\cap F)\)

• Un vecteur \(x\) de \(E\) est isotrope pour \(f\) (ou \(q\)) s'il est orthogonal à lui même pour \(f\), ce qui s'écrit \(f(x,x)=q(x)=0\).

• L'ensemble des vecteurs isotropes pour \(f\) (ou \(q\)) s'appelle le cône isotrope de \(f\) (ou \(q\)).

• Le sous-espace \(F\) est non isotrope pour \(f\) si le vecteur nul est le seul vecteur de \(F\) orthogonal à \(F\), c'est à dire si \(F\cap F^\perp=\{0_E\}\).

• Le sous-espace \(F\) est non isotrope pour \(f\) si et seulement si \(f_{ /F\times F}\) est non dégénérée.

• Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) de type fini, le sous-espace \(F\) est non isotrope pour \(f\) si et seulement si \(E=F\oplus F^\perp\).

• Tableau récapitulatif quand \(E\) est de type fini :